Platte (Technische Mechanik)
Eine Platte ist in der Technischen Mechanik bzw. in der Bautechnik ein in der Ebene ausgebreitetes Bauteil, das aus steifem Material besteht (ebenes Flächentragwerk) und durch senkrecht auf sie wirkende Kräfte und durch Momente um Achsen belastet wird, die in der Plattenebene liegen.
Im Gegensatz zur Platte wird eine Scheibe durch Kräfte in ihrer Ebene belastet.
In der linearen Plattentheorie kann jede beliebige Belastung in ein Platten- und ein davon entkoppeltes Scheibenproblem zerlegt werden. In nichtlinearen Plattentheorien lassen sich die beiden Probleme nicht entkoppeln.
Ein Flächenbauteil, das im unbelasteten Zustand nicht eben, sondern gekrümmt ist, wird als Schale bezeichnet.
Voraussetzungen
- Es gibt Lasten, die senkrecht zur Mittelebene liegen.
- Man unterscheidet zwischen Plattentheorien für dünne Platten, moderat dicke Platten und dicke Platten, je nachdem ob die Plattendicke sehr viel kleiner als die Plattenbreite ist, moderat kleiner oder kleiner.
- Man unterscheidet zwischen Plattentheorien, bei denen die Durchbiegungen erheblich kleiner sind als die Plattendicke (Plattentheorie nach Kirchhoff), in der Größenordnung der Plattendicke (Plattentheorie nach von Kármán) oder in der Größenordnung der Plattenbreite und damit erheblich größer als die Plattendicke.
- Bei dünnen und moderat dicken Platten, deren Durchbiegungen klein oder moderat groß sind, liegt in guter Näherung ein ebener Spannungszustand vor. Außerdem sind hier die Verzerrungen parallel zur Mittelebene proportional zum Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} von der Mittelebene; senkrecht zur Mittelebene sind sie Null.
- Gerade und orthogonale Linienabschnitte, die senkrecht zur Plattenmitte sind, bleiben im gebogenen Zustand bei dünnen und moderat dicken Platten gerade und bei dünnen Platten sogar orthogonal. Das führt zu einer linearen Verteilung der Biegespannungen über die Plattendicke.
- Lineare Plattentheorien (bei kleinen Durchbiegungen) setzen lineares Werkstoffverhalten voraus.
Übersicht
| große Durchbiegungen
u Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gg} d bzw. u ≈ l |
Biegung oder Schalenproblem | räumlicher Spannungszustand | ||
| moderate Durchbiegungen
u ≈ d |
nichtlineare Plattentheorie
(Plattenproblem gekoppelt mit Scheibenproblem) |
ebener Spannungszustand;
Verzerrungen parallel zur Mittelebene sind proportional zum Abstand von der Mittelebene |
räumlicher Spannungs-
zustand | |
| kleine Durchbiegungen
u Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ll} d |
lineare Plattentheorie
(Plattenproblem entkoppelt von Scheibenproblem) | |||
| *gerade,
orthogonal |
*gerade,
nicht orthogonal |
*nicht gerade,
nicht orthogonal | ||
| dünne Platte
d/l 1 |
moderat dicke Platte
(d/l)³ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ll} 1 |
dicke Platte | ||
*) Linien, die im unverformten Zustand gerade und orthogonal auf der Mittelebene sind, sind im verformten Zustand…
Anwendung
Angewendet werden Platten hauptsächlich als Geschossdecken, als Fundamentplatten und bei Brücken. Sie sind in der Regel aus Beton oder Stahl, auch im Schiffbau, Fahrzeugbau, Offshore-Bauten und in der Halbleiterelektronik, z. B. elektronische Wafer.
Platten aus Mineral- oder Plexiglas mit oder ohne Rahmen dienen zum Bau von Fenstern, Türen und Aquarien.
Lagerung
Platten werden ein- oder zweiachsig zwischen Auflagern gespannt. Die Auflager sind linienförmig (Wände) oder punktförmig (Stützen). Sie können am Rand oder an beliebiger Stelle unter der Platte angeordnet sein. Die einfachsten Platten sind rechteckförmig und am Rand gestützt, sie können aber auch jede beliebige Grundrissform und auch Löcher (Aussparungen) haben.
Berechnung und Bemessung
Zur Berechnung nicht zu komplizierter Platten dient die Plattentheorie. Für einfache Betonplatten gibt es Tabellen zur Bemessung mit Bewehrung, für sehr komplizierte Formen braucht man Computerprogramme auf der Basis der Finite-Elemente-Methode.
Literatur
- J. Bluhm: Flächentragwerke. Institut für Mechanik – Fakultät Ingenieurwissenschaften – Abteilung Bauwissenschaften, Universität Duisburg-Essen
- Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity, North Holland 1991 (Band 2 Theory of Plates, Band 3 Theory of Shells)
