Die Plemelj-Smithies-Formeln (nach Josip Plemelj und Frank Smithies) sind Theoreme aus der Funktionalanalysis über die Darstellung von Operatordeterminanten wie der Fredholm-Determinante
für Spurklasse-Operatoren
und für den Spezialfall beschränkter linearer Operatoren mit endlichem Rang
auf einem Banachraum
. Die Theoreme geben eine explizite Formel zur Berechnung der Koeffizienten der Taylorentwicklung von
an.
Aussage
Sei
ein Operator der Spurklasse und
, dann ist die Determinante
eine ganze Funktion und es gilt
![{\displaystyle \det(I+\lambda A)=1+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}(A)\lambda ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5fa38b18c4d3fedef03178302f289befc2fe3a)
wobei sich die Koeffizienten
der Taylorentwicklung mit Hilfe von Determinanten
![{\displaystyle C_{k}(A)={\frac {1}{k!}}\;{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&\cdots &\operatorname {tr} A&1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&\cdots &\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e981d4f82336c5975f4e346ce89e1817c3152b4e)
ausdrücken lassen.
Außerdem gilt für
und
hinreichend klein die folgende Formel:
![{\displaystyle \det(I+\lambda A)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\operatorname {tr} (A^{k})\lambda ^{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79f6ed0927fdf4c67eacbc3fe7f1ab2bfc44779)
Beweis-Skizze
Die Idee besteht darin, den Beweis zunächst für den oben erwähnten Spezialfall von beschränkten Operatoren mit endlich-dimensionalem Bild durchzuführen und dann den Gültigkeitsbereich durch einen geeigneten Grenzübergang auf
fortzusetzen.
Lemma zur Verkettung der Exponentialfunktion mit einer speziellen analytischen Potenzreihe
Als Vorbereitung benötigen wir noch folgendes Lemma (siehe Gohberg et al.[1] und Reed / Simon[2]):
Seien
und
Funktionen, die in einer Umgebung von
holomorph sind mit folgenden Taylorentwicklungen:
Sei weiterhin
. Dann ist
und für
gilt folgende Darstellung:
![{\displaystyle a_{n}=\operatorname {det} {\begin{pmatrix}b_{1}&n-1&0&\cdots &\cdots &0\\b_{2}&b_{1}&n-2&\ddots &&\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\b_{n-2}&\cdot &\cdots &b_{1}&2&0\\b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &\cdots &b_{1}&1\\b_{n}&b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &\cdots &b_{1}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c0307027448c0571bc3b69a9615838759da382)
Begründung:
Da in einer Umgebung von 0 die Gleichung
gilt, kann man die Cauchy-Produktformel auf das Produkt der Potenzreihen von
und
anwenden:
![{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{(n-1)!}}\lambda ^{n-1}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_{k}{\frac {a_{n-k}}{(n-k)!}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69048ce12b3cd4cb96fd66d22728bc3019aa16b)
Also
![{\displaystyle a_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_{k}a_{n-k}{\frac {(n-1)!}{(n-k)!}}\;\;\;\;n=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c0e0cb5419a86938182604d72e65cfd85ee349)
Die Aussage des Lemmas zeigt man nun durch Induktion über
. Mit der Annahme, dass die Aussage des Lemmas für
richtig ist, folgt die Gültigkeit für
durch den Laplaceschen Entwicklungssatz, da die Summenformel für
gerade der Entwicklung der Determinante
für
nach der ersten Spalte entspricht.
Beweis für Operatoren mit endlich-dimensionalem Bild
Mit Hilfe des obigen Lemmas können wir nun den Beweis für Operatoren mit endlichem Rang führen (vgl. Gohberg et al.[3] und Reed / Simon[4]):
Sei
ein Operator aus der Algebra der beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang
auf einem Banachraum
.
Wenn wir die komplexen Eigenwerte von
mit
bezeichnen, dann lässt sich die Determinante für
folgendermaßen darstellen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det(I+\lambda A)=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda \mu _{i})=&\operatorname {exp} \left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {log} (1+\lambda \mu _{i})\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\mu _{i}^{k}\lambda ^{k}\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\lambda ^{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}^{k}\right)\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\lambda ^{k}\operatorname {tr} (A^{k})\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8c8014d860e4771cc92cbbd2e8800d276f36b7)
Durch Anwenden des obigen Lemmas auf die gerade hergeleitete Darstellung von
folgt unmittelbar die Gültigkeit der Plemlj-Smithies Formeln für Operatoren mit endlich-dimensionalem Bild.
Stetige Fortsetzung auf eingebettete Unteralgebren mit der Approximations-Eigenschaft
Wir bezeichnen mit
die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren
die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang
auf einem komplexen Banachraum
Eine Unteralgebra
von
heißt stetig eingebettet in
, falls es eine Norm
auf
gibt, so dass
![{\displaystyle 1.\;\|A\|_{{\mathcal {L}}(B)}\leq C\|A\|_{\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8df9cb54fdc8996f82c990a269282150026911b)
Zusätzlich fordern wir
![{\displaystyle 2.\;\|AB\|_{\mathcal {D}}\leq C\|A\|_{\mathcal {D}}\|B\|_{\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd4fbf4419b3588e24c7b324d2faf939812efd2)
- Der Einfachheit halber nennen wir eine Unteralgebra
eine eingebettete Unteralgebra, wenn die Norm auf
die Bedingungen 1. und 2. erfüllt.
- Falls zusätzlich
dicht in
bezüglich der Norm
liegt, so sagen wir, dass
die Approximationseigenschaft hat.
Man kann zunächst allgemein nachweisen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen die Funktion
für eingebettete Unteralgebren
mit Approximationseigenschaft setig von
nach
fortsetzen lässt (siehe z. B. Gohberg et al.[5]).
Speziell lässt sich nun zeigen, dass
- die Menge
der Operatoren der Spurklasse eine Unteralgebra von
mit der Approximationseigenschaft ist (vgl. Gohberg et al.[6])
- sich
von
stetig nach
fortsetzen lässt vgl. Gohberg et al.[7]
Alternative Formulierung der Plemelj-Smithies-Formeln mit Hilfe von Bell-Polynomen
Ein Spezialfall der Formel von Faà di Bruno besagt, dass sich die Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe mit Hilfe von vollständigen Bell-Polynomen ausdrücken lässt:
![{\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})}{n!}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332dcd63e550265416f29c1bc2694d80bbda9eaf)
Wenn man dies anstelle des obigen Lemmas auf die Darstellung von
anwendet, so erhält man folgende alternative Darstellung für die Taylorkoeffizienten
:
![{\displaystyle C_{k}(A)={\frac {1}{k!}}\;{\mathcal {B}}_{k}{\Bigl (}0!~\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2},2!~\operatorname {tr} A^{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!~\operatorname {tr} A^{k}{\Bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be4f5c4a54ca30bc24d905d9f8e125053c20fb6)
Koeffizienten des charakteristischen Polynoms einer endlich-dimensionalen Matrix
Mit Hilfe der Plemelj-Smithies-Formeln kann man unmittelbar explizite Formeln für die Koeffienten
des durch
![{\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=\det \left(\lambda I-A\right)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505ac1d6f8e9e7239f0b1f5c705111a052816994)
definierten charakteristischen Polynoms einer Matrix
angeben.
![{\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{n}}}\det \left(\lambda I-A\right)=\det \left(I+\left(-\;{\frac {1}{\lambda }}\right)A\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}(A)(-1)^{k}{\frac {1}{\lambda ^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de5844dfafb21f0d02303f8c24de9c92ef09b2f)
Da das charakteristische Polynom vom Grad
ist, muss
sein für
und die Taylorentwicklung reduziert sich zu einer endlichen Summe:
![{\displaystyle \det \left(\lambda I-A\right)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{k}(A)\lambda ^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0012d2ed5efd5f7f679484f475d7b63200b33159)
Durch Koeffizientenvergleich erkennt man sofort:
Literatur
- Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Springer Basel AG, ISBN 978-3-0348-9551-4, doi:10.1007/978-3-0348-8401-3
- Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., ISBN 0-12-585004-2
- J. Plemelj : Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichung, Monat. für Math. und Phys 15, 1904, 93–128 doi:10.1007/BF01692293
- F. Smithies : Integral Equations, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1965, ISBN 978-0521100038
Einzelnachweise
- ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter I, Lemma 7.1
- ↑ Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., Chapter XIII.17, Lemma 7
- ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter I, Theorem 3.3
- ↑ Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., Chapter XIII.17, Lemma 6
- ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter II, Theorem 2.1
- ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter IV, Theorem 5.1
- ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter IV, Theorem 5.2 und Vorbemerkungen auf p. 61
siehe auch: Fredholm-Determinante, Approximationseigenschaft, Banachalgebra, Spurklasse