Plemelj-Smithies-Formeln

Die Plemelj-Smithies-Formeln (nach Josip Plemelj und Frank Smithies) sind Theoreme aus der Funktionalanalysis über die Darstellung von Operatordeterminanten wie der Fredholm-Determinante $\det(I+\lambda A)$ für Spurklasse-Operatoren $A\in {\mathcal {S}}_{1}$ und für den Spezialfall beschränkter linearer Operatoren mit endlichem Rang ${\mathcal {F}}({\mathcal {B}})$ auf einem Banachraum ${\mathcal {B}}$. Die Theoreme geben eine explizite Formel zur Berechnung der Koeffizienten der Taylorentwicklung von $\det(I+\lambda A)$ an.

Aussage

Sei $A\in {\mathcal {S}}_{1}$ ein Operator der Spurklasse und $\lambda \in \mathbb {C}$, dann ist die Determinante $\det(I+\lambda A)$ eine ganze Funktion und es gilt

$\det(I+\lambda A)=1+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}(A)\lambda ^{k}$

wobei sich die Koeffizienten $C_{k}(A)$ der Taylorentwicklung mit Hilfe von Determinanten

$C_{k}(A)={\frac {1}{k!}}\;{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&\cdots &\operatorname {tr} A&1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&\cdots &\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.$

ausdrücken lassen.

Außerdem gilt für $|\lambda |<R$ und $R>0$ hinreichend klein die folgende Formel:

$\det(I+\lambda A)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\operatorname {tr} (A^{k})\lambda ^{k}\right)$

Beweis-Skizze

Die Idee besteht darin, den Beweis zunächst für den oben erwähnten Spezialfall von beschränkten Operatoren mit endlich-dimensionalem Bild durchzuführen und dann den Gültigkeitsbereich durch einen geeigneten Grenzübergang auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{S_1} } fortzusetzen.

Lemma zur Verkettung der Exponentialfunktion mit einer speziellen analytischen Potenzreihe

Als Vorbereitung benötigen wir noch folgendes Lemma (siehe Gohberg et al. und Reed / Simon):

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g } Funktionen, die in einer Umgebung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = 0 } holomorph sind mit folgenden Taylorentwicklungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\lambda) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!} \lambda^n, \qquad g(\lambda) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}n b_n \lambda^n }

Sei weiterhin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\lambda) = \operatorname{exp}(g(\lambda)) } . Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0 = 1 } und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \ge 1 } gilt folgende Darstellung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n = \operatorname{det} \begin{pmatrix} b_1 & n-1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ b_2 & b_1 & n-2 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ b_{n-2} & \cdot & \cdots & b_1 & 2 & 0 \\ b_{n-1} & b_{n-2} & \cdots & \cdots & b_1 & 1 \\ b_n & b_{n-1} & b_{n-2} & \cdots & \cdots & b_1 \end{pmatrix} }

Begründung:

Da in einer Umgebung von 0 die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(\lambda) = g'(\lambda) f(\lambda) } gilt, kann man die Cauchy-Produktformel auf das Produkt der Potenzreihen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g' } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } anwenden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{(n-1)!}\lambda^{n-1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \lambda^{n-1} \left( \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} b_k \frac{a_{n-k}}{(n-k)!} \right) }

Also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n = \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} b_k a_{n-k} \frac{(n-1)!}{(n-k)!} \; \; \; \; n =1,2, \ldots }

Die Aussage des Lemmas zeigt man nun durch Induktion über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n } . Mit der Annahme, dass die Aussage des Lemmas für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_j, 1\leq j \leq n } richtig ist, folgt die Gültigkeit für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{n+1} } durch den Laplaceschen Entwicklungssatz, da die Summenformel für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{n+1} } gerade der Entwicklung der Determinante für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{n+1} } nach der ersten Spalte entspricht.

Beweis für Operatoren mit endlich-dimensionalem Bild

Mit Hilfe des obigen Lemmas können wir nun den Beweis für Operatoren mit endlichem Rang führen (vgl. Gohberg et al. und Reed / Simon):

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A } ein Operator aus der Algebra der beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{F}(\mathcal{B}) } auf einem Banachraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B} } .

Wenn wir die komplexen Eigenwerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_i \; (i=1, \ldots ,n)} bezeichnen, dann lässt sich die Determinante für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda < 1 / \bigl| \underset{i=1,\ldots,n}{\operatorname{max}} \mu_i \bigr| } folgendermaßen darstellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \det(I+ \lambda A) = \prod_{i=1}^n (1 + \lambda \mu_i ) = & \operatorname{exp}\left( \sum_{i=1}^n \operatorname{log}(1 + \lambda \mu_i) \right) \\ = & \operatorname{exp}\left( \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}k \mu_i^k \lambda^k \right) \\ = & \operatorname{exp}\left( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}k \lambda^k \left( \sum_{i=1}^n \mu_i^k \right) \right) \\ = & \operatorname{exp}\left( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}k \lambda^k \operatorname{tr}(A^k) \right) \end{align} }

Durch Anwenden des obigen Lemmas auf die gerade hergeleitete Darstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det(I+ \lambda A) } folgt unmittelbar die Gültigkeit der Plemlj-Smithies Formeln für Operatoren mit endlich-dimensionalem Bild.

Stetige Fortsetzung auf eingebettete Unteralgebren mit der Approximations-Eigenschaft

Wir bezeichnen mit

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathcal{B}) } die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{F}(\mathcal{B}) } die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang

auf einem komplexen Banachraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B} }

Eine Unteralgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D} } von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathcal{B}) } heißt stetig eingebettet in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathcal{B}) } , falls es eine Norm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \| \cdot \|_{\mathcal{D}} } auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} gibt, so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1. \; \|A\|_{\mathcal{L}(B)} \leq C \|A\|_{\mathcal{D}} }

Zusätzlich fordern wir

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2. \; \|AB\|_{\mathcal{D}} \leq C \|A\|_{\mathcal{D}} \|B\|_{\mathcal{D}} }

• Der Einfachheit halber nennen wir eine Unteralgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D} } eine eingebettete Unteralgebra, wenn die Norm auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D} } die Bedingungen 1. und 2. erfüllt.
• Falls zusätzlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{F}_{\mathcal{D}} = \mathcal{F} \cap \mathcal{D} } dicht in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D} } bezüglich der Norm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \| \cdot \|_{\mathcal{D}} } liegt, so sagen wir, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D} } die Approximationseigenschaft hat.

Man kann zunächst allgemein nachweisen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{det}(I+\lambda A) } für eingebettete Unteralgebren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D} } mit Approximationseigenschaft setig von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{F}_{\mathcal{D}} } nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D} } fortsetzen lässt (siehe z. B. Gohberg et al.).

Speziell lässt sich nun zeigen, dass

• die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{S}_1 } der Operatoren der Spurklasse eine Unteralgebra von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathcal{B}) } mit der Approximationseigenschaft ist (vgl. Gohberg et al.)
• sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{det}(I+\lambda A) } von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{F} \cap \mathcal{S}_1 } stetig nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{S}_1 } fortsetzen lässt vgl. Gohberg et al.

Alternative Formulierung der Plemelj-Smithies-Formeln mit Hilfe von Bell-Polynomen

Ein Spezialfall der Formel von Faà di Bruno besagt, dass sich die Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe mit Hilfe von vollständigen Bell-Polynomen ausdrücken lässt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n!} x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n(a_1,\dots,a_n)}{n!} x^n }

Wenn man dies anstelle des obigen Lemmas auf die Darstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{det}(I-\lambda A) } anwendet, so erhält man folgende alternative Darstellung für die Taylorkoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_k(A) } :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_k(A) = \frac{1}{k!} \; {\mathcal B}_k \Bigl ( 0! ~ \operatorname{tr}A , -1! ~ \operatorname{tr}A^2, 2! ~\operatorname{tr}A^3, \ldots, (-1)^{k-1} (k-1)! ~ \operatorname{tr}A^k\Bigr ) .}

Koeffizienten des charakteristischen Polynoms einer endlich-dimensionalen Matrix

Mit Hilfe der Plemelj-Smithies-Formeln kann man unmittelbar explizite Formeln für die Koeffienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_k } des durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi_A(\lambda) = \det\left(\lambda I - A\right) =\sum_{k=1}^n c_k \lambda^k }

definierten charakteristischen Polynoms einer Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in\mathbb{C}^{n\times n} } angeben.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac 1 {\lambda^n} \det\left(\lambda I - A\right) = \det\left(I+ \left(- \; \frac {1}{\lambda }\right) A \right) = 1 + \sum_{k=1}^\infty C_k(A) (-1)^k \frac 1 {\lambda^k} }

Da das charakteristische Polynom vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n } ist, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_k(A) = 0 } sein für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k>n } und die Taylorentwicklung reduziert sich zu einer endlichen Summe:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det\left(\lambda I - A\right) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_k(A) \lambda^{n-k} }

Durch Koeffizientenvergleich erkennt man sofort:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{n-k} = (-1)^k C_k(A) }

Literatur

• Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Springer Basel AG, ISBN 978-3-0348-9551-4, doi:10.1007/978-3-0348-8401-3
• Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., ISBN 0-12-585004-2
• J. Plemelj : Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichung, Monat. für Math. und Phys 15, 1904, 93–128 doi:10.1007/BF01692293
• F. Smithies : Integral Equations, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1965, ISBN 978-0521100038

Einzelnachweise

siehe auch: Fredholm-Determinante, Approximationseigenschaft, Banachalgebra, Spurklasse