Poissonsche Summenformel

Die poissonsche Summenformel ist ein Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von Abtastmethoden.

Aussage

Sei $f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ eine Schwartz-Funktion und sei

${\hat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}(f)(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,e^{-2\pi i\omega \cdot t}\,dt$

die kontinuierliche Fourier-Transformation von $f$ in ${\mathcal {S}}$. Dann besagt die poissonsche Summenformel

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k).$

Diese Identität gilt auch für bestimmte allgemeinere Klassen von Funktionen. Geeignete Voraussetzungen sind beispielsweise, dass die Funktion $f$ zweifach stetig differenzierbar und der Ausdruck $(1+t^{2})\,(|f(t)|+|f''(t)|)$ beschränkt ist.

Unter Ausnutzung der elementaren Eigenschaften der Fourier-Transformation ergibt sich daraus die allgemeinere Formel mit zusätzlichen Parametern $t,\nu \in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(t+nT)e^{-2\pi i\nu nT}&=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {F}}(f(t+\cdot T)e^{-2\pi i\nu \cdot T})(k)\\&={\frac {1}{T}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {F}}(f(t+\cdot )e^{-2\pi i\nu \cdot })\left({\frac {k}{T}}\right)\\&={\frac {1}{T}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {F}}(f(t+\cdot ))\left({\frac {k}{T}}+\nu \right)\\&={\frac {1}{T}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{2\pi i(k/T+\nu )t}{\mathcal {F}}(f)\left({\frac {k}{T}}+\nu \right).\end{aligned}}$

Setzt man in der allgemeineren Form $t=0$,

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(nT)e^{-2\pi i\nu nT}={\frac {1}{T}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {F}}(f)\left({\frac {k}{T}}+\nu \right),$

so kann die poissonsche Summenformel auch als Identität einer Fourier-Reihe mit Funktionswerten von $f$ als Koeffizienten auf der linken Seite und einer Periodisierung der Fourier-Transformierten von $f$ auf der rechten Seite gelesen werden. Diese Identität gilt mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null, wenn $f$ eine bandbeschränkte Funktion ist, das heißt die Fourier-Transformierte eine messbare Funktion in $L^{2}(\mathbb {R} )$ mit kompaktem Träger ist.

Formulierung mittels Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm zur Intervalllänge $T\in \mathbb {R}$ ist die Distribution

${\text{Ш}}_{T}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta _{nT}.$

Die Fourier-Transformierte ${\mathcal {F}}A\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ einer temperierten Distribution $A\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ ist definiert durch

$\langle {\mathcal {F}}A,\,\phi \rangle =\langle A,\,{\mathcal {F}}\phi \rangle \quad (\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )),$

in Analogie zur Plancherel-Identität. Da die Fouriertransformation ein stetiger Operator auf dem Schwartzraum ist, definiert dieser Ausdruck tatsächlich eine temperierte Distribution.

Der Dirac-Kamm ist eine temperierte Distribution, und die poissonsche Summenformel besagt nun, dass

${\mathcal {F}}{\text{Ш}}_{T}={\frac {1}{T}}{\text{Ш}}_{1/T}$

ist. Dies lässt sich auch in der Form

${\text{Ш}}_{T}={\frac {1}{T}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{i(2\pi k/T)t}$

schreiben. Dabei sind die Exponentialfunktionen als temperierte Distributionen aufzufassen, und die Reihe konvergiert im Sinne von Distributionen, also im Schwach-*-Sinne, gegen den Dirac-Kamm. Man beachte aber, dass sie im gewöhnlichen Sinne nirgendwo konvergiert.

Zum Beweis

Sei f genügend glatt und im Unendlichen genügend schnell fallend, sodass die Periodisierung

$g(t):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(t+n)$

stetig, beschränkt, differenzierbar und periodisch mit Periode 1 ist. Diese kann also in eine punktweise konvergente Fourier-Reihe entwickelt werden,

$g(t)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}\cdot e^{2\pi ikt}.$

Deren Fourier-Koeffizienten bestimmen sich nach der Formel

$c_{k}=\int _{0}^{1}g(t)\cdot e^{-2\pi ikt}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(t+n)\cdot e^{-2\pi ik(t+n)}\,dt.$

Ebenfalls aus dem schnellen Abfall im Unendlichen folgt, dass die Summe mit dem Integral vertauscht werden kann. Daher gilt mit s=t+n weiter

$c_{k}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{n}^{n+1}f(s)\cdot e^{-2\pi iks}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\cdot e^{-2\pi iks}\,ds={\mathcal {F}}f(k).$

Zusammenfassend gilt

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(t+n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {F}}f(k)e^{2\pi ikt},$

woraus sich bei $t=0$ die Behauptung ergibt.

Anwendung auf bandbeschränkte Funktionen

Sei x bandbeschränkt mit höchster Frequenz W, das heißt $\operatorname {supp} {\hat {x}}\subset [-W,W]$. Ist dann $|WT|\leq \pi ,$ so tritt in der rechten Seite der Summenformel nur ein Summand auf, mit den Ersetzungen $\omega :=-2\pi \nu \in [-W,W]$, t=0 und Multiplikation eines Faktors erhält man

${\sqrt {2\pi }}{\hat {x}}(\omega )e^{i\omega t}=T\sum _{n\in \mathbb {Z} }x(nT)e^{i\omega (t-nT)}.$

Nach Multiplikation mit der Indikatorfunktion des Intervalls [-W,W] und nachfolgend der inversen Fourier-Transformation ergibt sich

$x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-W}^{W}{\hat {x}}(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega =T\sum _{n\in \mathbb {Z} }x(nT){\frac {\sin(W(t-nT))}{\pi (t-nT)}}.$

Im Grenzfall $WT=\pi$ ist dies die Rekonstruktionsformel des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems

$x(t)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x(nT)\operatorname {sinc} (t/T-n),$

wobei $\operatorname {sinc}$ die Sinc-Funktion mit $\operatorname {sinc} (t):={\tfrac {\sin(\pi t)}{\pi t}}$ ist.

Anwendungen in der Zahlentheorie

Mit Hilfe der Poissonschen Summenformel kann man zeigen, dass die Theta-Funktion

$\theta (t)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi t}$

der Transformationsformel

$\theta (t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\theta \left({\frac {1}{t}}\right)$

genügt. Diese Transformationsformel wurde von Bernhard Riemann beim Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion verwendet.

Literatur

• Elias M. Stein, Guido Weiss: Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1971, ISBN 978-0-691-08078-9. 
• J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 12, 1, 1985, ISSN 0002-9904, S. 45–89, online (PDF; 4,42 MB).
• John J. Benedetto, Georg Zimmermann: Sampling multipliers and the Poisson summation formula. In: The journal of Fourier analysis and applications. 3, 5, 1997, ISSN 0002-9904, S. 505–523, online.