Sinc-Funktion

Der Sinus cardinalis, auch si-Funktion, Kardinalsinus oder Spaltfunktion ist eine analytische Funktion. Die Bezeichnung Kardinalsinus geht auf Philip M. Woodward aus dem Jahr 1953 zurück. Die Nomenklatur ist in der Literatur nicht einheitlich festgelegt, insbesondere in der englischsprachigen Literatur wird die Bezeichnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sinc}} sowohl für die normierte als auch für die nicht normierte Variante verwendet. In der deutschsprachigen Literatur wird eine Unterscheidung zwischen den beiden Festlegungen getroffen und die nichtnormierte Version als

Datei:Si sinc.svg

si(x): Nichtnormierter Sinus cardinalis

sinc(x) = si(π·x): Normierter Sinus cardinalis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{si}(x) = \frac{\sin x}{x}}

definiert. In der Informationstheorie und der digitalen Signalverarbeitung, den Anwendungsgebieten der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sinc}} -Funktion, findet hingegen meist die normierte Form mit der Bezeichnung $\operatorname {sinc}$ Anwendung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}}

Die im deutschen Sprachraum übliche Bezeichnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{si}} für den nicht normierten Kardinalsinus ist nicht mit dem Integralsinus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Si}} , der Stammfunktion der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{si}} -Funktion, zu verwechseln.

Eigenschaften

Allgemeines

An der hebbaren Singularität bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0} werden die Funktionen durch den Grenzwert $\operatorname {si} (0)=1$ bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sinc}(0)=1} stetig fortgesetzt, der sich aus der Regel von de L’Hospital ergibt; manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben.

Softwarepakete wie Matlab verwenden meist die normierte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sinc}} -Funktion, welche sich auch als Produkt oder mit Hilfe der Gammafunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma(\cdot)} ausdrücken lässt als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right) = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}}

Die Taylorreihe der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{si}} -Funktion lässt sich unmittelbar aus der $\sin$-Funktion herleiten zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} \mp \cdots}

Die sphärische Bessel-Funktion erster Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j_0} ist mit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{si}} -Funktion identisch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j_0(x)=\frac{\sin x}{x}}

Nullstellen

$\operatorname {si} (x)={\frac {\sin x}{x}}=\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{\pi }}\right)=0$ gilt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ x \in \{n\pi \ \mid \ n \in \mathbb Z \setminus \{0\} \}}

Maxima und Minima

Datei:Si cos.svg

Die Extrema von si(x) fallen mit ihren Schnittpunkten (kleine, weiße Punkte) mit dem Kosinus zusammen

si(x) = sin(x)/x

cos(x)

Die Extrema von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{si}} mit positiver $x$-Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_n, n \geq 1} , liegen in guter Näherung bei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_n \approx (n+\tfrac12)\pi - \frac1{(n+\frac12)\pi} }

wobei für ungerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ein Minimum angenommen wird und für gerade $n$ ein Maximum. Für das erste Extremum mit positiver Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Koordinate – das Minimum bei $x_{1}\approx 4{,}49$ – ist der absolute Fehler des Näherungswertes bereits deutlich kleiner als 1/100.

Neben diesen Extrema und dem absoluten Maximum bei 0 besitzt die Kurve wegen ihrer Symmetrie zur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse auch Extrema bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -x_n} .

Maxima und Minima von si(x) = sin(x)/x

x	min / max
0	max
≈ 4,4934095 ≈ 1½π − 0,219284	min
≈ 7,7252518 ≈ 2½π − 0,12873	max
≈ 10,904122 ≈ 3½π − 0,091452	min
≈ 14,066194 ≈ 4½π − 0,070973	max
≈ 17,220755 ≈ 5½π − 0,057989	min
≈ 20,371303 ≈ 6½π − 0,049049	max
≈ 23,519452 ≈ 7½π − 0,042493	min
≈ 26,666054 ≈ 8½π − 0,042998	max
≈ 29,811599 ≈ 9½π − 0,033531	min
≈ 32,956389 ≈ 10½π − 0,030334	max
≈ 36,100622 ≈ 11½π − 0,0276935	min
≈ 39,244432 ≈ 12½π − 0,025476	max
≈ (2n−½)·π − ((2n−½)·π)−1	min
≈ (2n+½)·π − ((2n+½)·π)−1	max

Fouriertransformierte der Rechteckfunktion

Die sinc-Funktion ist die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{rect} \left(\frac{t}{\tau} \right) =\chi_{[-\tau/2,\tau/2]}(t) := \begin{cases}1 & |t|\le\tau/2 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} }

denn es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F(\chi_{[-\tau/2,\tau/2]})(\omega) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2} \mathrm e^{-\mathrm{i} \omega t}\, \mathrm dt = \frac1{\sqrt{2\pi}}\,\tau \,\operatorname{si} \left( \frac{\omega \tau}{2} \right)}   .

Aus den Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass die sinc-Funktion analytisch und damit beliebig oft stetig differenzierbar ist. Aus der Plancherel-Identität der Fourier-Transformation folgt weiter, dass sie orthogonal zu Verschiebungen ihrer selbst um ganzzahlige Vielfache von $\pi$ ist, es gilt

$\langle \operatorname {si} (x-k\pi ),\,\operatorname {si} (x-l\pi )\rangle ={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (l-k)\pi t}\,\mathrm {d} t=\pi \operatorname {si} ((l-k)\pi )=\pi \delta _{l,k}$  ,

wobei $\delta _{l,k}$ das Kronecker-Delta bezeichnet.

Mit einer passenden Normierung bilden diese Verschiebungen der sinc-Funktion also ein Orthonormalsystem im Funktionenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(\R)}  . Die Projektion auf den von den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sinc}(x-k\pi)} aufgespannten Unterraum ergibt sich als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(f)(x)=\frac1\pi\sum_{k=-\infty}^\infty \langle f(t),\,\operatorname{si}(t-k\pi)\rangle\;\operatorname{si}(x-k\pi)}   .

Aufgrund der Interpolationseigenschaft gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(f)(n\pi)=\frac1\pi\langle f(t),\,\operatorname{si}(t-n\pi)\rangle\;}  , also

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(f)(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }P(f)(k\pi )\;\operatorname {si} (x-k\pi )}   .

Funktionen aus diesem Unterraum sind also durch ihre Werte an den Stellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{k\pi:k\in\Z\}} eindeutig bestimmt.

Die Rechteckfunktion als Fouriertransformierte der $\operatorname {sinc}$-Funktion hat beschränkten Träger, ist daher samt den Linearkombinationen ihrer Verschiebungen bandbeschränkt. Umgekehrt ist jede bandbeschränkte als eine solche Linearkombination darstellbar, und daher durch die Funktionswerte an den genannten Stützstellen eindeutig bestimmt. Das ist die Aussage des WKS-Abtasttheorems.

Ableitungen

Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Ableitung von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{si}(x) = \frac{\sin x}{x}}

lässt sich für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \neq 0} analytisch bestimmen zu:

${\frac {\mathrm {d} ^{n}\!\operatorname {si} (x)}{\mathrm {d} x^{n}}}=\sum _{m=0}^{n}{\frac {n!}{m!}}(-1)^{n-m}{\frac {\mathrm {d} ^{m}\,\sin \,x}{\mathrm {d} \,x^{m}}}{\frac {1}{x^{n-m+1}}}={\frac {1}{x}}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n}\,\sin \,x}{\mathrm {d} \,x^{n}}}-n{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}\operatorname {si} (x)}{\mathrm {d} \,x^{n-1}}}\right)$

Die daraus gebildeten ersten zwei Ableitungen lauten:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,\operatorname {si} (x)}{\mathrm {d} \,x}}={\frac {\cos \,x}{x}}-{\frac {\sin \,x}{x^{2}}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2\,\operatorname{si}(x)}{\mathrm{d}\,x^2} = - \frac{\sin\,x}{x} - \frac{2\,\cos\,x}{x^2} + \frac{2\,\sin\,x}{x^3}}

Fläche

→ Hauptartikel: Integralsinus

Die gesamte Fläche unter dem Integral beträgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{si}(x)\ \mathrm dx = \pi}

und entsprechend

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}(x)\ \mathrm dx = 1} .

Beziehung zur Delta-Distribution

Mit der normierten sinc-Funktion lässt sich die Delta-Distribution durch den schwachen Grenzwert definieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)}{\pi x} = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) = \delta(x).}

Der auftretende Grenzwert ist kein gewöhnlicher Grenzwert, da die linke Seite der Gleichung nicht konvergiert. Genauer definiert der Grenzwert eine Distribution

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{a \to 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) \varphi(x) \,\mathrm dx = \varphi(0)}

für jede Schwartz-Funktion. In der obigen Gleichung geht die Zahl der Oszillationen pro Längeneinheit der Sinc-Funktion zwar für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\rightarrow 0} gegen Unendlich, trotzdem oszilliert die Funktion für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm\frac{1}{\pi x}} .

Diese Definition zeigt, dass man von der Delta-Distribution nicht wie von einer gewöhnlichen Funktion denken sollte, die ausschließlich für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0} einen beliebig großen Wert annehmen. Ein ähnliches Problem zeigt auch das Gibbs-Phänomen.

Anwendung

Signalverarbeitung

Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sinc}} -Funktion hat insbesondere in der digitalen Signalverarbeitung eine große Bedeutung. Sie tritt in der sogenannten Samplingreihe (oder Kardinalreihe, E. T. Whittaker 1915) auf, mit Hilfe derer ein kontinuierliches bandbeschränktes Signal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} aus seinen Abtastwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(k \Delta t) } rekonstruiert bzw. eine beliebige Stützstellenfolge zu einem kontinuierlichen Signal fortgesetzt wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{ x(k \Delta t) \cdot \operatorname{sinc} \left( \frac{1}{\Delta t} (t-k \Delta t) \right)}}

Diese ist die Interpolationsformel geringster Schwankung, d. h., das Frequenzspektrum ist beschränkt und hat die kleinstmögliche höchste (Kreis-)Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\pi}{\Delta t}} bzw. Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac1{2\Delta t}} . Ist die Voraussetzung der Bandbeschränktheit für das Signal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} nicht mehr gegeben, hat also das Ausgangssignal Anteile höherer Frequenzen, so ist die Folge dieser Abtastwerte zu grobmaschig, die hochfrequenten Anteile werden in zusätzliche niederfrequente Anteile umgesetzt, d. h., es tritt Aliasing (Fehlzuordnung der Frequenzanteile) auf.

Beugung am Spalt

Bei der Beugung von Wellen an einem Spalt bilden die Amplituden ein Beugungsmuster, das sich durch Fouriertransformation einer rechteckigen Öffnungsfunktion erklären lässt. Deshalb wird der Kardinalsinus auch als Spaltfunktion bezeichnet. Die bei der Beugung von Licht vom Auge wahrgenommene Helligkeitsverteilung ist allerdings das Quadrat der Wellenamplitude; sie folgt daher der quadrierten Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sinc}^2} .

Primzahlverteilung und Kernphysik

Der Funktionsterm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \left(\tfrac{\sin\pi x}{\pi x}\right)^{\!2}} beschreibt in der Physik die Paar-Korrelations-Verteilung der Energien der Eigenzustände von schweren Atomkernen. In der Mathematik beschreibt er die mit der Verteilung von Primzahlen assoziierte Paar-Korrelation der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Die Gemeinsamkeit liegt in der beiden zugrundeliegenden Theorie der Zufallsmatrizen, worauf zuerst der Physiker Freeman Dyson 1972 im Gespräch mit dem Mathematiker Hugh Montgomery hinwies.

Abgrenzung

Die Tanc-Funktion weist eine strukturell hohe Ähnlichkeit zu der Spaltfunktion auf, zählt aber nicht zu den Kardinalfunktionen.

Weblinks

Commons: Sinc-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Sinc Funktion. In: MathWorld (englisch).