Zufallsmatrix

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Eine Zufallsmatrix bezeichnet in der Stochastik eine matrixwertige Zufallsvariable (englisch Random Matrix). Ihre Verteilung nennt man zur Abgrenzung von den multivariaten Verteilungen eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zufallsmatrizen spielen eine wichtige Rolle in der statistischen sowie mathematischen Physik, insbesondere in der statistischen Mechanik. Aus historischer Sicht hat sich die Theorie aus dem Versuch entwickelt, Systeme mit vielen stochastischen aber miteinander agierenden Teilchen zu beschreiben. Viele der Grundlagen der Theorie stammen deshalb von mathematischen Physikern und viele Modelle haben eine physikalische Interpretation.

Die Theorie der Zufallsmatrizen ist auch in der multivariaten Statistik relevant, wo man sie zur Analyse von Kovarianzmatrizen benötigt. Insbesondere im Zusammenhang mit hoch-dimensionalen Daten und spektralstatistischen Verfahren wie der Hauptkomponentenanalyse (PCA).

Haarsches Maß und Weylsche Integralformel

Auf jeder Lie-Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} existiert ein eindeutiges, links-invariantes Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_L} , d. h. für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in G} und jede Borel-messbare Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S\subseteq G} gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_L(Sg)=\mu_L(g)} . Dieses Maß nennt man linkes Haarsches Maß und es ist eindeutig bis auf Multiplikation mit einer Konstanten.

Betrachtet man nun eine kompakte Lie-Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} , so existiert ein eindeutiges, linkes Haarsches Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_H} , welches zu gleich auch rechts-invariant und normalisiert ist, genannt das Haarsche Wahrscheinlichkeitsmaß auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} . Das heißt für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in G} und jede Borel-messbare Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B\subseteq G} gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_H(Bg)=\mu_H(gB)=\mu_H(g)} .

Für kompakte Lie-Gruppen lässt sich mit Hilfe der Integralformel von Weyl eine Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichte bezüglich der Eigenwerte finden. Als Beispiel sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=\mathbb{U}(n)} die unitäre Gruppe, die Eigenwerte sind von der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{i\phi_1},\dots, e^{i\phi_n}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_1,\ldots,\phi_n\in\R} . Weiter sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} eine Klassenfunktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} der maximale Torus aller Diagonalmatrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=\operatorname{diag}(e^{i\phi_1},\ldots,e^{i\phi_n})} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{U}(n)} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Ad}} bezeichnet die adjungierte Darstellung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} bezeichne das Wurzelsystem, dann gilt:[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det(\operatorname{Id}-\operatorname{Ad}_{G/T}(t^{-1}))=\prod\limits_{\alpha \in R}(1-e^{-\alpha})=\prod\limits_{j<k}|e^{i\phi_k}-e^{i\phi_j}|^2} ,

und somit kriegt man mit Hilfe von Weyl's Integralformel ein Integral über den maximalen Torus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_G f\, \mathrm{d}g=\frac{1}{n!}\int_T f(t) \prod\limits_{j<k}|e^{i\phi_k}-e^{i\phi_j}|^2 \mathrm{d}t} .

Definition

Eine formale mathematische Definition lautet:[2]

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{M}_n} der Raum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times n} -Matrizen über dem Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} mit einer σ-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{A}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})} ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathcal{F},\mathcal{A})} -messbare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\colon\Omega\to\mathcal{M}_n} heißt Zufallsmatrix.

Eine Zufallsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in \mathcal{M}_n} ist somit das matrixwertige Analogon zu einer Zufallsvariablen.

Zentrale Begriffe

Partitionsfunktion

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{E}} ein Matrix-Raum (z. B. der hermiteschen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times n} -Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}_n(\mathbb{C}):=\{X\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}):X^*=X\}} ) und sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(\mathrm{d}M)} ein komplexes Maß auf diesem Raum, welches in der Regel nicht normalisiert ist. Dann nennt man das Integral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z:=\int_{\mathcal{E}}\mu(\mathrm{d}M) }

Partitionsfunktion und man erhält einen Erwartungswert zur Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:\mathcal{E}\to\mathbb{C}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[f(M)]:=\frac{1}{Z}\int_{\mathcal{E}}f(M)\mu(\mathrm{d}M) }

Wignersche Matrix

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_{i,j})_{1\leq i<j}\in \mathbb{C}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Y_{i,i})_{1\leq i}\in \mathbb{R}} i.i.d Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[X_{i,j}^2] = 0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[|X_{i,j}|^2] = 1} . Man nennt eine Zufallsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_n=(h_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} eine (komplexe) Wignersche-Matrix wenn sie hermitesch ist und folgendes gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{i,j}=\begin{cases} X_{i,j}/\sqrt{n} & i<j\\ Y_{i,i}/\sqrt{n} & i = j\\ \end{cases}} .

Die Matrix wird oft mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{n}^{-1}} skaliert. Manche Autoren definieren sie aber auch ohne Skalierung.

Sie ist ein wichtiger Typ von Zufallsmatrizen und benannt nach Eugen Wigner.

Wignersche Matrizen mit einer zugrundeliegenden Normalverteilung führen zu dem Begriff der invarianten Ensembles.

Das GUE erhält man, wenn zusätzlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[Y_{i,i}^2] = 1} gilt und die Einträge normalverteilt sind. Das GOE erhält man wenn alle Einträge reell und normalverteilt sind und zusätzlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[Y_{i,i}^2] = 2} gilt.

Invariante Ensembles

Zentrale Studienobjekte sind die invarianten Ensembles, welche durch die folgenden Maße auf dem entsprechenden Raum der Matrizen induziert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{\beta}^n(\mathrm{d}A):=\frac{1}{Z_{\beta,n}}e^{-\frac{\beta}{2}n\operatorname{Tr}(Q(A))}\mathrm{d}A}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} der Dyson-Index ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(A)} das Potential. Man setzt an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} voraus, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(x)\to \infty} genügend schnell, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\to \pm\infty} , damit alle Momente existieren. In der Regel ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} ein Polynom. Man erhält für

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=1} das orthogonale Ensemble (OE) auf dem Raum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\times n} reellen symmetrischen Matrizen.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=2} das unitäre Ensemble (UE) auf dem Raum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\times n} hermiteschen Matrizen
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=4} das symplektische Ensemble (SE) auf dem Raum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\times n} hermiteschen quaternionen Matrizen.

Die freie Energie der unitären Ensembles ist[3]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_n^0=-n^{-2}\ln Z_{2,n}=-n^{-2}\ln \int_{\mathcal{H}_n}e^{-n\operatorname{Tr}Q(M)}\mathrm{d}M}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}_n} den Raum der hermiteschen Matrizen bezeichnet.

Mit Hilfe der weylschen Integralformel lässt sich zeigen, dass das kanonische (unnormalisierte) Haarsche Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}U_{h}} auf der entsprechenden kompakten Lie-Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{O}(n),\mathbb{U}(n)/\mathbb{T}^n} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{USp}(n)/\mathbb{T}^n} folgende Darstellung zulässt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}A=\prod_{i<j}\left|\lambda_j-\lambda_i\right|^{\beta}\mathrm{d}\Lambda \mathrm{d}U_{h}}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}\Lambda} das Lebesgue-Maß der Eigenwerte ist. Für skalierte Einträge des Gaußschen Ensembles erhält man eine geschlossene Form des Wahrscheinlichkeitsmaßes über der Weyl-Kammer mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_n\geq\dots \geq\lambda_1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^n_\beta(\mathrm{d}\lambda_1,\dots,\mathrm{d}\lambda_n)=\frac{1}{\widetilde{Z}_{\beta, n}} \prod_{i<j}\left|\lambda_j-\lambda_i\right|^\beta \prod_{k=1}^n e^{-\frac{\beta n}{2}Q(\lambda_k)}\mathrm{d}\lambda_k.}

Das Wahrscheinlichkeitsmaß enthält den Boltzmann-Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{-\beta n\mathcal{E}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)}} wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{E}} die totale potentielle Energie bezeichnet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{E}(\lambda_1,\dots,\lambda_n):=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^nQ(\lambda_k)-\frac{1}{n}\sum_{i<j}\log|\lambda_j-\lambda_i|.}

Die Konstante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \widetilde{Z}_{\beta, n}:=n!\left(\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty \prod_{i<j}\left|\lambda_j-\lambda_i\right|^\beta\prod\limits_{i=1}^n e^{-\frac{\beta n}{2}Q(\lambda_i)}\mathrm{d}\lambda_i\right)}

lässt sich mit Hilfe des Selberg-Integrals berechnen.

Gaußsche Ensembles

Wichtige Spezialfälle der invariante Ensembles sind die Gaußschen Ensembles, welche durch das Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(A):=\tfrac{1}{2}A^2} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(\lambda_k):=\tfrac{1}{2}\lambda_k^2} und die folgenden Gaußschen Maße erzeugt werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{\beta}^n(\mathrm{d}A):=\frac{1}{Z_{\beta,n}}e^{-\frac{\beta}{4}n\operatorname{Tr}(A^2)}\mathrm{d}A.}

Man erhält für

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=1} das Gaußsches Orthogonales Ensemble (GOE) auf dem Raum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\times n} reellen symmetrischen Matrizen.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=2} das Gaußsches Unitäres Ensemble (GUE) auf dem Raum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\times n} hermiteschen Matrizen.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=4} das Gaußsches Symplektisches Ensemble (GSE) auf dem Raum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\times n} hermiteschen quaternionen Matrizen.

Die Bezeichnung orthogonal/unitär/symplektisch bezeichnet, unter welcher Matrix Konjugation die Verteilung invariant ist.

Beispielsweise gilt für eine Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_n} aus dem GOE und einer Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O} aus der orthogonalen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{O}_n} , dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_n \sim O^TM_nO} .

In der Quantenmechanik werden sie verwendet um Hamiltonoperatoren zu modellieren.

Herleitung des GUE durch Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse

Man betrachte das System stochastischer Differentialgleichungen genannt Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{cases} \mathrm{d}X_i(t)=X_i(t)\mathrm{d}t+\mathrm{d}W_{i}(t) &\quad 1\leq i \leq n,\\ \mathrm{d}X_{ij}(t)=-X_{ij}(t)\mathrm{d}t+\mathrm{d}W^{(1)}_{ij}(t) &\quad 1\leq i<j \leq n,\\ \mathrm{d}Y_{ij}(t)=-Y_{ij}(t)\mathrm{d}t+\mathrm{d}W^{(2)}_{ij}(t) &\quad 1\leq i<j \leq n\\ \end{cases}}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{W_i,W^{(1)}_{ij},W^{(2)}_{ij}\}} unabhängige brownsche Bewegungen sind mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[\dot{W}_{i}(t_1)\dot{W}_{j}(t_2)]=2D\delta_{ij}\delta(t_1-t_2),\qquad \mathbb{E}[\dot{W}_{ij}^{(\sigma_1)}(t_1)\dot{W}_{st}^{(\sigma_2)}(t_2)]=D\delta_{\sigma_1\sigma_2}\delta_{st}\delta_{ij}\delta(t_1-t_2)}

und die Initialwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_{i}(0),X_{ij}(0),Y_{ij}(0)} beliebig sind.

Definiert man nun eine hermitesche Zufallsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H=(h_{ij}(t)/\sqrt{n})_{1\leq i,j\leq n}} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\geq 0} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{ij}(t)=\begin{cases}X_i(t) &\quad i=j,\\ X_{ij}(t) + \mathrm{i} Y_{ij}(t) &\quad i<j\\ \end{cases}}

und bezeichnet mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_t(\mathrm{d}H)} das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß, dann gilt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D=2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\to \infty}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_t(\mathrm{d}H)\propto P_{2}^n(\mathrm{d}H)}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{2}^n(\mathrm{d}H)} das GUE bezeichnet.[4]

Zirkulare Ensembles

Man erhält das Zirkulare Unitäre Ensemble (ZUE) durch das haarsche Maß auf dem Raum der unitären Matrizen. Das Zirkulare Orthogonale Ensemble (ZOE) erhält man durch das haarsche Maß auf dem Raum der symmetrischen unitären Matrizen. Das Zirkulare Symplektische Ensemble (ZSE) erhält man durch das haarsche Maß auf dem Raum der selbst-dualen unitären Quaternionen-Matrizen. Die Dichte der Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_j=e^{i\theta_j}} der Zirkularen Ensembles ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_\beta(\lambda_1,\dots,\lambda_n)=\frac{1}{Z^{circ}_{\beta, n}} \prod_{i<j}\left|e^{i\theta_j}-e^{i\theta_i}\right|^\beta,\quad -\pi<\theta_l\leq \pi,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=1} für das ZOE, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=2} für das ZUE und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=4} für das ZSE gilt.[5]

β-Ensembles und Dysons „Threefolded Way“

Man spricht von Dysons Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} -Ensemble, da Freeman Dyson in seiner wissenschaftlichen Schrift The Threefolded Way[6] diese Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=\{1,2,4\}} Klassifizierungen der Zufallsmatrizen herleitete, basierend auf physikalisch möglichen Zeitumkehr-Eigenschaften der Quantenmechanik (orthogonal, unitär, symplektisch). Der Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = 3} ist aufgrund des Satzes von Frobenius nicht möglich. Neben den Gaußschen Ensembles spielen auch die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} -Wishart-Laguerre-Ensembles und die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} -Jacobi-Manova-Ensembles eine zentrale Rolle in der Theorie der Zufallsmatrizen.

Es ist üblich nur von Laguerre-Ensembles bzw. Jacobi-Ensembles zu sprechen, statt von Wishart- bzw. Manova-Ensembles

Allgemeine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} spielen in der klassischen Theorie der Zufallsmatrizen eine untergeordnete Rolle.

Theorie der Zufallsmatrizen

Die Theorie der Zufallsmatrizen befasst sich weniger mit einer konkreten Zufallsmatrix, sondern mit dem Matrizenraum dahinter. Konkret geht es um Wahrscheinlichkeitsmaße auf Matrixräumen und Lie-Gruppen, dies erklärt den Begriff Ensembles. Ein klassisches Problem der Theorie der Zufallsmatrizen ist das Finden einer multivariaten Wahrscheinlichkeitsdichte für die Eigenwerte unterschiedlicher Matrix-Ensembles. Eine der frühsten Arbeiten stammt von Dyson, welcher eine geschlossene Form für eine große Menge von Matrizen fand, abhängig von der zugrundeliegenden Symmetrie der Matrizen und Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Spektraleigenschaften von großen Zufallsmatrizen haben universelle Eigenschaften und man kann beim Studium komplizierter deterministischer Operatoren, wie zum Beispiel dem Dirac-Operator aus der Physik, diese Operatoren mit Zufallsmatrizen ersetzen und die Theorie der Zufallsmatrizen anwenden.

Beim Studium von Integralen über Matrix-Räume verwendet man zum Teil Resultate aus der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Auch die freie Wahrscheinlichkeitstheorie von Voiculescu ist von Relevanz für große Zufallsmatrizen.

Generell untersucht man Matrizen mit bestimmten Symmetrie-Eigenschaften (z. B. hermitesche) und hat bestimmte stochastische Anforderungen an die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Raum jener Matrizen (z. B. obere Dreiecksmatrix unabhängig). Des Weiteren interessiert man sich vor allem für die Spektraltheorie und dessen asymptotisches Verhalten, wenn die Dimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N\to \infty} . Die Spektraltheorie ist engverbunden mit der Theorie der Punktprozesse, da die Eigenwerte einen (zufälligen) Punktprozess formen. Bei vielen Ensembles taucht in der gleichen Region derselbe Punktprozess in unendlicher Dimension auf (Universalität). Matrix-wertige Funktionen wie die Determinante oder die Spur können nicht einfach auf unendlich-dimensionale Matrizen übertragen werden. Für bestimmte Operatoren lässt sich aber mit der abstrakten Fredholmtheorie eine Erweiterung auf unendlich-dimensionale separable Hilberträume über die äußere Algebra finden. Es lassen sich Determinanten für Operatoren aus den Schatten-von Neumann-Klassen definieren.

Definiert man die Einträge der Matrix als Brownsche Bewegungen, so lässt sich auch das matrixwertige Analogon eines stochastischen Prozess bilden und die Theorie der stochastischen Analysis und die Martingal-Theorie ist anwendbar, siehe Dysons brownsche Bewegung und Wishart-Prozess.

Spektraltheorie der Zufallsmatrizen

Sind die Einträge einer hermiteschen Zufallsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_n} von der Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{O}(\sqrt{n})} , so konvergiert das empirische Spektralmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu_n(\lambda;M_n):=n^{-1}\sum\limits_{j=0}^n\delta(\lambda - \lambda_j(M_n))} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta} das Dirac-Delta bezeichnet.

Da die zufälligen Ensembles Punktprozesse sind, kann man die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Punkt Korrelationsfunktion für die Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1,\dots,\lambda_N} herleiten. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} eine Testfunktion und definiere das Funktional

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_N[\varphi]:=\sum\limits_{n=0}^N(-1)^n \binom{N}{n}\mathbb{E}\left[\varphi(\lambda_1)\cdots\varphi(\lambda_n)\right]}

Dann ist die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Punkt Korrelationsfunktion folgende ausgewertete Funktionalableitung[7]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-1)^n\frac{\delta^n}{\delta\varphi(\lambda_1)\cdots \delta\varphi(\lambda_n)}E_N[\varphi]\Biggr|_{\varphi=0}=R^{(n)}_N(\lambda_1,\dots,\lambda_n).}

Mit dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz lässt sich Konvergenz im Erwartungswert für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi\in C_c(\mathbb{R})} definieren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int\varphi\; \mathrm{d}\mathbb{E}\nu_n(\lambda;M_n):=\mathbb{E}\int\varphi\; \mathrm{d}\nu_n(\lambda;M_n).}

Globale Situation

Eines der wichtigsten Ergebnisse ist das sogenannte Wignersche Halbkreisgesetz (siehe Eugen Wigner): Es besagt, dass das (skalierte) empirische Spektralmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu_n} einer Wignerischen Zufallsmatrix (in der Physik bekannt als die sogenannte Zustandsdichte) einer charakteristischen Halbkreis-Verteilung genügt.

Allgemeiner handelt es sich um die Lösung eines Variationsproblem. Definiere den Maßraum

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_1(\mathbb{R})=\left\{\nu:\nu\geq 0,\ \int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}\nu = 1\right\}}

und betrachte das Funktional

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_Q=\inf\limits_{\nu \in M_1(\mathbb{R})}-\int\int_{x\neq y} \ln |x-y|\mathrm{d}\nu(x)\mathrm{d}\nu(y)+\int Q(x)\mathrm{d}\nu(x).}

Das Funktional erklärt sich durch die Integralschreibweise der totalen potentiellen Energie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{x\neq y} \ln |x-y|^{-1} +n\sum_{i=1}^n Q(x)}

bezüglich des empirischen Spektralmaßes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu_n} . Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_Q} wird ein eindeutiges Equilibrium-Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu_{Q}} durch die Euler-Lagrange-Variationsbedingung für eine reelle Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} [3]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\int_\mathbb{R}\log |x-y|\mathrm{d}\nu(y)-Q(x)=l,\quad x\in J}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\int_\mathbb{R}\log |x-y|\mathrm{d}\nu(y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb{R}\setminus J}

definiert, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J=\bigcup\limits_{j=1}^q[a_j,b_j]} der Träger des Maßes ist und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q=-\left(\frac{Q'(x)}{2}\right)^2+\int \frac{Q'(x)-Q(y)}{x-y}\mathrm{d}\nu_{Q}(y)} .

Im Fall des GUE konvergiert das zufällige Maß schwach in Wahrscheinlichkeit gegen die deterministische Verteilung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma(\mathrm{d}x):=\frac{1}{2\pi}\sqrt{(4-x^2)_{+}}\mathrm{d}x}

Es gilt für eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\in C_b(\mathbb{R})} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon >0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}P(|\langle \nu_n,f\rangle-\langle \sigma,f\rangle|>\varepsilon)=0}

Der Satz kann mit Mitteln der Kombinatorik und der Momentmethode bewiesen werden. Für eine Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\sim \sigma(\mathrm{d}x)} gilt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}\left[X^k\right]=\delta_{k/2\in\mathbb{Z}}C_{k/2}} wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_n} die Catalan-Zahlen sind.

Durch die Equilibrium-Maß Methode der statistischen Mechanik gibt es eine Verbindung zur Theorie der großen Abweichungen. Einen analytischen konstruktiven Beweis ergibt sich über die Stieltjes-Transformation.

Für Wishart- bzw. Laguerre-Matrizen konvergiert das empirische Spektralmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu_n} gegen die Martschenko-Pastur-Verteilung und für MANOVA bzw. Jacobi-Matrizen gegen die Kesten-Mckey-Verteilung.

Für quadratische Zufallsmatrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n} mit i.i.d. komplexen Einträgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a)_{ij}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[(a)_{ij}]=0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Var}[(a)_{ij}]=1} gilt das Kreisgesetz (Tao-Vu[8]) welches besagt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu_n} gegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta(\mathrm{d}x):=\frac{1}{\pi}1_{|x|^2+|y|^2\leq 1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}

konvergiert.

Man spricht von Universalität, weil die Sätze unabhängig von der zugrundeliegenden Verteilung sind.

Lokale Situation

Limitverhalten

Lokal ergibt sich bei Skalierung ein Punktprozess für die Eigenwerte. Der Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=2} von hermiteschen Matrizen ist signifikant einfacher. Man kann mittels der Theorie der orthogonale Polynome eine determinantale Form für die Korrelationsfunktion finden, welche dann zu Fredholm-Determinanten von Integraloperatoren führen. Die Fälle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=4} lassen sich mit Quaternionen-Determinanten und schief-orthogonalen Polynome lösen.[9]

Es gilt für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Punkt Korrelationsfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R^{(n)}_N(\lambda_1,\dots,\lambda_n)=\frac{N!}{(N-n)!}\int_{\mathbb{R}(\lambda_{n+1})}\cdots \int_{\mathbb{R}(\lambda_{N})}p_\beta(\lambda_1,\dots,\lambda_N)\prod\limits_{j=n+1}^N \mathrm{d}\lambda_{j}}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_\beta(\lambda_1,\dots,\lambda_n)} die multivariate Dichte der Eigenwerte ist.

Für das GUE erhält man einen determinantal point process, ein einfacher Punktprozess mit Kern bezüglich eines Maßes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} , dessen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R^{(n)}_N} existiert, so dass für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\geq 1} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R^{(n)}_N(\mathrm{d}x_1,\dots,\mathrm{d}x_n)=\operatorname{det}[K(x_i,x_j)]_{1\leq i,j\leq n}\mu(\mathrm{d}x_1,\dots,\mathrm{d}x_n)} .

Skaliert man den Integralkern konvergiert dieser entweder zu dem Sinus- oder Airy-Kern. Die benötigten asymptotischen Entwicklungen können mittels der nicht-trivialen Methode des steilsten Anstiegs gezeigt werden (asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ).

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{\text{Sine}}(x,y)=\tfrac{\sin(\pi(x-y))}{\pi(x-y)}}

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kompakte Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V\subset\mathbb{R}} keine (unskalierte) Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\lambda_i)_{i\leq n}} enthält, lässt sich als Fredholm-Determinante formulieren (Gaudin-Mehta)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}P(\sqrt{n}\lambda_{1},\dots,\sqrt{n}\lambda_{n}\not\in V)=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\int_V\cdots \int_V \operatorname{det}[K_{\text{Sine}}(x_i,x_j)]_{i,j=1}^k\prod\limits_{j=1}^k\mathrm{d}x_j} .

Universalität im Hauptteil

2010 zeigten Erdős-Ramírez-Schlein-Tao-Vu-Yau für wignerische Matrizen mit subexponentialer Abnahme Universalität des Sinus-Kern.[10]

Rand

Betrachtet man den Rand des Spektrums, so erhält man einen Airy-Prozess und bekommt die Tracy-Widom-Verteilung mit Kern

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{\text{Airy}}(x,y)=\tfrac{\operatorname{Ai}(x)\operatorname{Ai}'(y)-\operatorname{Ai}'(x)\operatorname{Ai}(y)}{x-y}}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Ai}} die Airy-Funktion bezeichnet.

Für das GSE und GOE erhält man eine Verallgemeinerung, ein sogenannter pfaffian point processes.

Im Falle des Laguerre-Ensembles ergibt sich bei dem hard edge (harten Rand) ein Bessel-Prozess und bei dem soft edge (weichen Rand) ein Airy/-Prozess.

Geschichte

Bereits 1928 untersuchte John Wishart als einer der ersten, die Zufallsmatrizen die bei einer standard multivariaten normalverteilten Stichprobe entstehen (die Kovarianzmatrix). Dies führte zu der Wishart-Verteilung, die matrixvariate Verallgemeinerung der χ2-Verteilung bzw. Gamma-Verteilung.

In den 1950er untersuchte Eugene Wigner die Verteilung zwischen benachbarten Energieniveau von schweren Atomkerne. Das Energieniveau wird durch die Eigenwerte des Hamiltonian der (zeitunabhängigen) Schrödingergleichung beschrieben

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{\hat H}|\Psi\rangle = E |\Psi\rangle }

Für schwere Atomkerne ist dieses Problem zu komplex um es theoretisch zu lösen, deshalb kam Wigner auf die Idee, dieses Problem als statistisches Problem zu lösen und stattdessen die Spektraldichte von großen endlichen Zufallsmatrizen zu untersuchen.

Empirische Daten aus Experimenten zeigten, dass die Verteilung von der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega(\mathrm{d}x)= C_\beta x^\beta e^{-k_{\beta}x^2}\mathrm{d}x}

sein musste und somit das Energieniveau korreliert ist, da sonst eine Poisson-Verteilung zugrunde liegen sollte und es erklärte auch das Phänomen, dass sich die Energieniveaus gegenseitig abstiessen. Dieses Resultat wird als Wigners Vermutung (englisch Wigner's surmise) bezeichnet. Die Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_{\beta},k_{\beta}} sind von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}} abhängig und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} beschreibt die zugrundeliegende Symmetrie der Atomkerne unter Zeitumkehr und Spinrotation. Wigner postulierte, dass die Abstände zwischen den Linien des Spektrums den Abständen der Eigenwerte einer Zufallsmatrix gleichen.

Aus den 1960ern stammen bedeutende Arbeiten zur mathematischen Theorie der Zufallsmatrizen von Gaudin, Mehta und Dyson. Parallel dazu entwickelte sich auch wichtige Arbeiten zu den Kovarianzmatrizen.

Die traditionelle Ausgangslage der Statistik hat eine (kleine) fixe Anzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} von Parametern und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\to\infty} Observationen. Die Theorie der Zufallsmatrizen hat sich aus der Situation entwickelt, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} sehr groß ist und man interessiert sich auch für die Fälle wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n,p\to \infty} .

In den 1970ern entdeckte Montgommery und Dyson eine Verbindung zwischen den Zufallsmatrizen und der Zahlentheorie respektive zwischen schweren Atomkernen und den kritischen Nullstellen der riemannschen Zeta-Funktion.

Anwendungen

Statistik

Physik

Weitere Anwendungen

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. ↑ Elizabeth Meckes: The Random Matrix Theory of the Classical Compact Groups. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-41952-9, doi:10.1017/9781108303453.
  2. ↑ Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009.
  3. ↑ a b John Harnad: Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems. Hrsg.: Springer. ISBN 978-1-4614-2877-0.
  4. ↑ Yan V. Fyodorov: Introduction to the Random Matrix Theory: Gaussian Unitary Ensemble and Beyond. doi:10.48550/ARXIV.MATH-PH/0412017.
  5. ↑ Peter J. Forrester: Log-Gases and Random Matrices. In: Princeton University Press (Hrsg.): London Mathematical Society Monographs (LMS-34). Band 34.
  6. ↑ Freeman Dyson: The Threefold Way. Algebraic Structure of Symmetry Groups and Ensembles in Quantum Mechanics. Abgerufen am 23. Mai 2021.
  7. ↑ Leonid Pastur und Mariya Shcherbina: Eigenvalue distribution of large random matrices. Hrsg.: American Mathematical Society. 2011.
  8. ↑ 2010 gezeigt durch Terence Tao und Van H. Vu
  9. ↑ G. Mahoux und M.L. Mehta: A method of integration over matrix variables IV. In: EDP Sciences, (Hrsg.): Journal de Physique I. Nr. 1, 1991, S. 1093–1108.
  10. ↑ Laszlo Erdos, Jose Ramirez and Benjamin Schlein and Terence Tao and Van Vu and Horng-Tzer Yau: Bulk universality for Wigner hermitian matrices with subexponential decay. arxiv:0906.4400 [math].
  11. ↑ https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02397287/document
  12. ↑ VS Rychkov, S Borlenghi, H Jaffres, A Fert, X Waintal: Spin Torque and Waviness in Magnetic Multilayers: A Bridge Between Valet-Fert Theory and Quantum Approaches. In: Phys. Rev. Lett.. 103, Nr. 6, August 2009, S. 066602. doi:10.1103/PhysRevLett.103.066602. PMID 19792592.
  13. ↑ DJE Callaway: Random Matrices, Fractional Statistics, and the Quantum Hall Effect. In: Phys. Rev., B Condens. Matter. 43, Nr. 10, April 1991, S. 8641–8643. doi:10.1103/PhysRevB.43.8641. PMID 9996505.
  14. ↑ M Janssen, K Pracz: Correlated Random Band Matrices: Localization-delocalization Transitions. In: Phys Rev E Stat Phys Plasmas Fluids Relat Interdiscip Topics. 61, Nr. 6 Pt A, Juni 2000, S. 6278–86. doi:10.1103/PhysRevE.61.6278. PMID 11088301.
  15. ↑ DM Zumbühl, JB Miller, CM Marcus, K Campman, AC Gossard: Spin-orbit Coupling, Antilocalization, and Parallel Magnetic Fields in Quantum Dots. In: Phys. Rev. Lett.. 89, Nr. 27, Dezember 2002, S. 276803. doi:10.1103/PhysRevLett.89.276803. PMID 12513231.
  16. ↑ SR Bahcall: Random Matrix Model for Superconductors in a Magnetic Field. In: Phys. Rev. Lett.. 77, Nr. 26, Dezember 1996, S. 5276–5279. doi:10.1103/PhysRevLett.77.5276. PMID 10062760.
  17. ↑ D Sánchez, M Büttiker: Magnetic-field Asymmetry of Nonlinear Mesoscopic Transport. In: Phys. Rev. Lett.. 93, Nr. 10, September 2004, S. 106802. doi:10.1103/PhysRevLett.93.106802. PMID 15447435.
  18. ↑ F Franchini, VE Kravtsov: Horizon in Random Matrix Theory, the Hawking Radiation, and Flow of Cold Atoms. In: Phys. Rev. Lett.. 103, Nr. 16, Oktober 2009, S. 166401. doi:10.1103/PhysRevLett.103.166401. PMID 19905710.
  19. ↑ arxiv:math.OA/0412545
  20. ↑ arxiv:math.OA/0501238
  21. ↑ http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Harding.pdf
  22. ↑ Antonia M. Tulino, Sergio Verdú: Random Matrix Theory and Wireless Communications. Now, 2004.
  23. ↑ newscientist.com
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