Determinantal point process

Ein determinantal point process (deutsch: determinantaler Punktprozess) oder kurz DPP ist ein Punktprozess, dessen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Punkt-Korrelationsfunktion eine Determinante eines Integralkerns ist. Solche Prozesse trifft man in der Spektraltheorie der Zufallsmatrizen, in der Kombinatorik, sowie im Machine Learning und der Physik an.

In der Theorie der Zufallsmatrizen haben manche dieser Prozesse erstaunliche – sogenannte universelle – Eigenschaften und man erhält in vielen Situation den gleichen Prozess, unabhängig von der darunterliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung. Viele Fragen zu diesem Phänomen sind noch nicht geklärt und Bestandteil moderner mathematischer Forschung.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Zeta} ein lokalkompakter polnischer Raum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(x,y)} ein positiver Integralkern eines lokalen Spurklasseoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K:L^2(\Zeta,\mu)\to L^2(\Zeta,\mu)} .

Ein simpler Punktprozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta} ist ein determinantal point process, falls seine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Punkt-Korrelationsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho^{(n)}} existiert und für jedes $n\geq 1$ gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho^{(n)}(\mathrm{d}x_1,\dots,\mathrm{d}x_n)=\operatorname{det}[K(x_i,x_j)]_{1\leq i,j\leq n}\prod\limits_{1\leq i\leq n}\mu(\mathrm{d}x_i)} .

Erläuterungen

Da Korrelationsfunktionen positiv sind, muss zwingend auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(x,y)} positiv sein.

Seien $M_{1},\dots M_{n}\subset \mathrm {Z}$ disjunkt, dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[\zeta(M_1)\cdots\zeta(M_n)]=\int_{M_1\times \cdots \times M_n} \operatorname{det}[K(x_i,x_j)]_{1\leq i,j\leq n}\mu(\mathrm{d}x_1)\cdots \mu(\mathrm{d}x_n)} .

Pfaffian point processes

Verallgemeinerungen der determinantal point processes sind pfaffian point processes, deren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Punkt-Korrelationsfunktion Pfaffsche Determinanten sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho^{(n)}(\mathrm{d}x_1,\dots,\mathrm{d}x_n)=\operatorname{Pf}[K(x_i,x_j)]_{1\leq i,j\leq n}\prod\limits_{1\leq i\leq n}\mu(\mathrm{d}x_i)}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(x,y)} ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\times 2} antisymmetrischer Kernel ist:

$K(x,y)={\begin{pmatrix}K_{11}(x,y)&K_{12}(x,y)\\K_{21}(x,y)&K_{22}(x,y)\end{pmatrix}}$

und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(x,y)^t=-K(y,x)} .

Beispiele

Beispiele aus der Physik

Der Fermion process und der Boson process.

Theorie der Zufallsmatrizen

Die empirischen Spektralmaße von einer großen Klasse von unitären Matrizen konvergieren (unter entsprechender Skalierung) zu determinantal point processes mit folgenden Kernen:

Sine₂-Prozess

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{K_{Sine}}(x,y):=\frac{\sin(\pi(x-y))}{\pi(x-y)}}

Airy₂-Prozess

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{K_{Airy}}(x,y):=\frac{\operatorname{Ai}(x)\operatorname{Ai}'(y)-\operatorname{Ai}'(x)\operatorname{Ai}(y)} {x-y}}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Ai}} die Airy-Funktion bezeichnet.

Universalität

Die $\operatorname {Sine} _{\beta }$, $\operatorname {Airy} _{\beta }$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Bessel}_\beta} -Prozesse charakterisieren die Eigenwerte einer großen Klasse von unendlichdimensionaler Zufallsmatrizen.

Literatur

• Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009.