Pollard-Rho-Methode

Grafische Darstellung der Teilergebnisse

Die Pollard-Rho-Methoden sind Algorithmen zur Bestimmung der Periodenlänge einer Zahlenfolge, die mit einer mathematischen Funktion berechnet wird. Verschiedene schwierige mathematische Probleme wie der diskrete Logarithmus und die Faktorisierung lassen sich mit diesen Methoden berechnen. Eine optimierte Variante der Pollard-Rho-Methode wurde von John M. Pollard im Jahre 1975 zur Primfaktorzerlegung entwickelt. Derartige Verfahren lassen sich auch zur Berechnung von Kollisionen in Hash-Funktionen anwenden.

Bei den Pollard-Rho-Methoden werden Folgen von Teilergebnissen berechnet. Ab einem bestimmten Punkt wiederholt sich ein Teil dieser Teilergebnisse nur noch. Man kann die Teilergebnisse grafisch so anordnen, dass sich die Gestalt des Buchstaben ρ (Rho) erkennen lässt. Daraus leitet sich die Bezeichnung der Methoden ab.

Funktionsweise

Gesucht ist ein Primfaktor $p$ der Zahl $n$. Im Allgemeinen muss dieser Teiler jedoch nicht zwingend eine Primzahl sein. Das Verfahren beruht auf der Erzeugung einer Folge von Pseudozufallszahlen. Zur Erstellung der Zufallsfolge kann eine relativ beliebige Funktion $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ verwendet werden. Es ist lediglich erforderlich, dass aus $x\equiv y{\pmod {p}}$ auch $f(x)\equiv f(y){\pmod {p}}$ folgt, und dies gilt beispielsweise bereits, wenn $f$ durch ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten gegeben ist.

Die Folge startet mit einem weitgehend beliebig wählbaren Startwert $x_{0}$. Die weiteren Werte werden iterativ berechnet gemäß

$x_{i}=f(x_{i-1})$

Die Funktionswerte modulo $p$ können maximal die $p$ verschiedenen Werte $0,1,2,\ldots ,p-1$ annehmen. Tritt einer dieser Werte erneut auf, so wiederholen sich anschließend diese Werte modulo $p$. Dies geschieht spätestens nach $p$ Iterationen und im Mittel nach etwa ${\sqrt {p}}$ Iterationen. Aus denselben Gründen kann man nach etwa ${\sqrt {n}}$ Iterationen erwarten, dass sich die Werte modulo $n$ wiederholen. Wenn bereits bekannt ist, dass $n$ einen kleinen Primfaktor hat, ist ${\sqrt {p}}$ erheblich kleiner als ${\sqrt {n}}$, so dass gehofft werden darf, dass die Wiederholung modulo $p$ erheblich früher als die Wiederholung modulo $n$ einsetzt.

Bei einer derart berechneten Zahlenfolge mit endlich vielen möglichen Funktionswerten werden zunächst in einer Vorperiode einige Werte

$x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k-1}$

angenommen. Sobald ein Wert wiederholt auftritt, wiederholen sich die Werte anschließend zyklisch

$x_{k},x_{k+1},\ldots ,\left(x_{k+l}=x_{k}\right),x_{k+1},\ldots$

Dieses Verhalten der Folge gab der Methode ihren Namen, da man sich die Periode wie einen Kreis vorstellen kann und die Folgenglieder am Anfang wie einen Stängel, der in den Kreis hineinführt. Graphisch sieht das aus wie der griechische Buchstabe ρ.

Haben zwei Werte $x$ und $y$ modulo $p$ aus der Folge den gleichen Wert, für die folglich $x\equiv y{\pmod {p}}\$ gilt, so ergibt der größte gemeinsame Teiler $\operatorname {ggT} (x-y,n)$ ein Vielfaches von $p$ und oftmals einen echten Teiler von $n$.

Es ist jedoch sehr aufwändig, alle Zahlenwerte auf diese Weise zu vergleichen. Eine optimierte Variante der Pollard-Rho-Methode berechnet daher zur Bestimmung der Periodenlänge zwei Folgen. Eine Folge

$x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )$

und die zweite Folge

$y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},\ldots )=(x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},\ldots )$

Durch diesen Trick kann der Vergleich sehr vieler Funktionswerte vermieden werden. Es muss jetzt nicht für alle Paare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_i, x_j)} der größte gemeinsame Teiler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{ggT}(x_i - x_j, n)} berechnet werden. Es genügt jeweils, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{ggT}(x_i - y_i, n)} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{ggT}(x_i - x_{2i}, n)} zu berechnen.

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} , als ein gesuchter Teiler von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , unbekannt ist, kann zunächst der Rest der Division durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} nicht berechnet werden. Es wird daher nicht die Gleichheit zweier Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} abgefragt, sondern der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{ggT}(x-y,n)} berechnet. Falls sich die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} nur um ein Vielfaches von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} unterscheiden, ist der Wert des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{ggT}(x-y, n)} ein Vielfaches des gesuchten Teilers Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} . Ganzzahlige Vielfache von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} sind zugleich ganzzahlige Vielfache von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} und brauchen deshalb bei der Berechnung nicht berücksichtigt werden. Infolgedessen genügt es die Funktionswerte modulo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} zu berechnen.

Zur Berechnung der Zahlenfolge kann eine Funktion der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x^2+ const} benutzt werden. Durch diese Wahl können nur ein Teil, etwa die Hälfte, der Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p-1} bei der Restbildung auftreten, wodurch das frühzeitigere Auftreten der gesuchten Wiederholungen etwas begünstigt wird.

Formale Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} die Zahl, von der ein Primfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} berechnet werden soll. Bezeichne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_k)_{k \in \mathbb{N}}} eine Folge von Pseudozufallszahlen wie zum Beispiel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} x_0 &= 2\\ x_{k+1} &= x_k^2 + c \pmod n \quad\text{ mit }\quad c \not\equiv 0\pmod n \text{ und }c \not\equiv -2\pmod n. \end{align}}

Existiert ein echter Primfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} , so gilt

Es gibt einen Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i < p} , so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n > k_i > 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_i \,|\, n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_i = \operatorname{ggT}(|x_i - x_{2i}|,n)} .

Algorithmus

Eingabe: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ist die zu faktorisierende Zahl und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} sei die Pseudo-Zufallsfunktion modulo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n}
Ausgabe: Ein nicht-trivialer Faktor von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} oder eine Fehlermeldung

1. x ← 2, y ← x; d ← 1
2. Solange d = 1:
   1. x ← f(x)
   2. y ← f(f(y))
   3. d ← ggT(|x − y|, n)
3. Wenn 1 < d < n, dann d zurückgeben.
4. Falls d = n, dann „Fehler“ ausgeben.

Anmerkung: Dieser Algorithmus liefert für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, eine Fehlermeldung zurück. Allerdings kann auch für die anderen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} eine Fehlermeldung zurückgeliefert werden. In diesem Fall wählt man eine andere Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} und versucht es erneut.

Ist das Ergebnis eine Zahl, so ist diese wirklich auch ein Teiler und damit ein korrektes Ergebnis, wobei dieses im Allgemeinen nicht zwingend eine Primzahl sein muss.

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} wählt man ein Polynom mit einem ganzzahligen Koeffizienten. Eine übliche Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} für diesen Algorithmus hat folgende Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x^2+c\hbox{ mod }n,\,c\neq0,-2.}

Abschätzung der Laufzeit

Die Zahlenfolgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i\ mod\ p} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{2i}\ mod\ p} können als Pseudo-Zufallsfolgen angesehen werden. Falls ein Zahlenwert erneut auftritt, wiederholen sich zwangsläufig die folgenden Werte. Es können bis zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} Werte angenommen werden (bei quadratischem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} wie oben: bis zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{p+1}2} Werte). Der Erwartungswert für die Länge eines Zyklus beträgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{p}} . Die Tatsache, dass weit weniger als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} Berechnungen erforderlich sind, wird zuweilen Geburtstagsparadoxon genannt.

Der ungünstigste Fall tritt ein, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ein Produkt von zwei Primzahlen gleicher Länge ist. Der Algorithmus terminiert dann nach O(n^1/4 polylog(n)) Schritten mit einer Wahrscheinlichkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac12} . Die Methode ist gut geeignet, um Zahlen mit mehreren kleineren Faktoren zu faktorisieren. Der Algorithmus kann in der gleichen Zeit (mit hoher Wahrscheinlichkeit) eine Zahl mit doppelt so vielen Stellen wie die Probedivision faktorisieren. Der Algorithmus arbeitet exponentiell in der Länge der Eingabe und ist damit asymptotisch langsamer als das Quadratische Sieb und das Zahlkörpersieb.

Zahlenbeispiel

1. Beispiel

Gesucht seien die Faktoren der Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=703} . Wir verwenden die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x^2+23 \mod n} und den Startwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0=431} :

Tabelle: Rho-Methode für n = 703

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=703, \quad f(x)=x^2+c} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=23, \quad x_0=431}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i=f(x_{i-1})}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_i = x_{2 \cdot i} = f(f(y_{i-1}))}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d={\operatorname{ggT}(|x-y|,n})}
1	192	331	1
2	331	49	1
3	619	125	19
4	49	106	19
5	315	144	19
6	125	619	19
7	182	315	19
8	106	182	19
9	11	11	703
10	144	372	19
11	372	49	19
12	619	125	19

Damit ist die Primfaktorzerlegung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 703=19\cdot 37} gefunden.

2. Beispiel

Tabelle: Rho-Methode für n = 2717

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=2717, \quad f(x)=x^2+c} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=4, \quad x_0=2}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i=f(x_{i-1})}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_i = x_{2 \cdot i} = f(f(y_{i-1}))}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d={\operatorname{ggT}(|x-y|,n})}
1	8	68	1
2	68	277	209
3	1911	2367	19
4	277	68	209
5	657	277	19
6	2367	2367	2717
7	239	68	19
8	68	277	209

Dieses Beispiel zeigt, dass der gefundene Faktor nicht zwingend eine Primzahl sein muss. Der hier gefundene Faktor ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 209=11\cdot 19} .

Faktorisierungen

Mit der beschriebenen Methode konnte 1980 die Fermat-Zahl

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_8 = 2^{2^{8}}+1= 2^{256} + 1 = 1238926361552897 \cdot p_{62}}

faktorisiert werden. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{62}} bezeichnet dabei eine (Prim)Zahl mit 62 Stellen, von der erst später bewiesen wurde, dass es sich bei ihr um eine Primzahl handelt.

Implementierungen

Die Rho-Methode ist unter dem Namen rho_factorize() Bestandteil der Funktionsbibliothek des Programms ARIBAS von Otto Forster.

Literatur

• A Monte Carlo Method for Factorization, J.M.Pollard, BIT 15 (1975) 331–334
• An Improved Monte Carlo Factorization Algorithm, R.P.Brent, BIT 20 (1980) 176–184
• Otto Forster: Algorithmische Zahlentheorie. Vieweg, 1996, ISBN 3-528-06580-X

Weblinks

• Pollard Rho Methode in der Mathworld
• Applet für Pollard-Rho Faktorisierung