Polychor

Ein Polychōr oder Polychōron

(das, von altgriechisch πολύς polýs ‚viel‘ und

χῶρος

‚Raum‘; Plural Polychōra) ist ein 4-dimensionales Polytop (4-Polytop). Polychora werden von Polyedern begrenzt.

Einfachstes Beispiel ist das Pentachoron, ein weiteres bekanntes Beispiel ist der Tesserakt, eine Verallgemeinerung des klassischen Würfels auf vier Dimensionen.

Das zweidimensionale Analogon zum Polychoron ist das Polygon, das dreidimensionale das Polyeder.

Platonische Polychora

Wie im 3-Dimensionalen werden die regelmäßigen (= regulären) unter den Polychora als platonisch bezeichnet. Ein $n$-Polytop ist dann regelmäßig, wenn es von regelmäßigen $(n\!\!-\!\!1)$-Polytopen in regelmäßiger Weise begrenzt wird. Tatsächlich gibt es zu jedem der fünf 3-dimensionalen platonischen Polyeder ein 4-dimensionales platonisches Polychor:

• zum Tetraeder das Pentachoron (5-Zeller) mit Schläfli-Symbol {3,3,3}, ein Simplex mit 5 Zellen (Tetraedern),
• zum Würfel den Tesserakt (8-Zeller) mit Schläfli-Symbol {4,3,3}, den Hyperkubus (Maßpolytop) mit 8 Zellen (Würfeln),
• zum Oktaeder (Kreuzpolyeder) das vierdimensionale Kreuzpolytop (Orthoplex), den 16-Zeller, mit 16 Zellen (Tetraedern) (Schläfli-Symbol {3,3,4}),
• zum Dodekaeder den 120-Zeller (Hekatonikosachor) mit 120 Zellen (Dodekaedern) (Schläfli-Symbol {5,3,3}) und
• zum Ikosaeder den 600-Zeller (Hexakosichor) mit 600 Zellen (Ikosaedern) (Schläfli-Symbol {3,3,5}).

Ferner gibt es als sechstes

• den 24-Zeller (Ikositetrachor) mit 24 Zellen (Oktaedern) (Schläfli-Symbol {3,4,3}),

sodass es im vierdimensionalen Raum sechs platonische Polychora (4-Polytope) gibt.

Dabei sind 8-Zeller und 16-Zeller zueinander dual, sowie 120-Zeller zum 600-Zeller (und umgekehrt). Das duale Polytop zum 5-Zeller ist der 5-Zeller und zum 24-Zeller der 24-Zeller – sie sind zu sich selbst dual, kurz: selbst-dual.

Ist die Dimensionszahl $n$ größer als 4, dann gibt es im $n$-dimensionalen euklidischen Raum als regelmäßige $n$-Polytope nur das $n$-Simplex, das $n$-Maßpolytop und das $n$-Kreuzpolytop.

Siehe auch

• Polychorie
• Polychorische Korrelation

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Polychoron. In: MathWorld (englisch).
• Uniform Polychora and Other Four Dimensional Shapes. Bei: polytope.net.