Primärzerlegung

Die Primärzerlegung ist ein Begriff aus der kommutativen Algebra. In einer Primärzerlegung werden Untermoduln als Durchschnitt primärer Untermoduln dargestellt. Existenz und Eindeutigkeit können unter bestimmten Voraussetzungen bewiesen werden. Die Primärzerlegung eines Ideals ist eine Verallgemeinerung der Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. Andererseits ist die Primärzerlegung die algebraische Grundlage für die Zerlegung einer algebraischen Varietät in ihre irreduziblen Komponenten.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

Ist $U$ ein Untermodul eines Moduls $M$ über einem Ring $R$, so ist eine Primärzerlegung von $U$ eine Darstellung von $U$ als Durchschnitt:

$U=P_{1}\cap \dots \cap P_{n}\quad (n\geq 1)$

von $p_{i}$-primären Untermoduln $P_{i}$. (Die $p_{i}$ sind Primideale des Rings $R$.)

Die Primärzerlegung heißt reduziert, wenn folgendes gilt:

1. Für $i\neq j$ ist $p_{i}\neq p_{j}$
2. $\bigcap _{j\neq i}P_{j}\nsubseteq P_{i}$

Bei einer reduzierten Primärzerlegung werden die $P_{i}$ auch als Primärkomponenten bezeichnet.

Existenz

Ist $M$ ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschem Ring $R$, so besitzt jeder echte Untermodul $U$ von $M$ aufgrund von noetherscher Induktion eine Zerlegung in irreduzible Untermoduln. Da irreduzible Untermoduln von endlich erzeugten Modul über einem noetherschen Ring aber bereits primär sind, ist die Zerlegung in irreduzible Untermoduln bereits eine Primärzerlegung. Ersetzt man nun alle zum selben Primideal primären Komponenten durch deren Schnitt, der selbst primär ist, und lässt alle nicht benötigten Komponenten weg, so erhält man eine reduzierte Primärzerlegung. Insbesondere besitzt jedes Ideal $I$ als Untermodul von $R$ eine Zerlegung in primäre Ideale.

Eindeutigkeit

Ist $U$ ein Untermodul von einem Modul $M$ über einem noetherschen Ring $R$ und

$U=P_{1}\cap \dots \cap \ P_{n}$

eine reduzierte Primärzerlegung in $p_{i}$-primäre Untermoduln, so ist

$\{p_{1},\dots ,p_{n}\}=Ass(M/U)$

$Ass(M/U)$ ist die Menge der assoziierten Primideale von $M/U$. Insbesondere ist die Menge der bei einer reduzierten Primärzerlegung auftretenden Primideale eindeutig festgelegt.

Ist $p_{i}$ ein minimales Element der Menge $\{p_{1},\dots ,p_{n}\}$, so ist $P_{i}$ gleich $R/p_{i}\cdot U$. Die zu minimalen Elementen von $Ass(M/U)$ gehörigen Primärkomponenten sind durch $M$ und $U$ eindeutig festgelegt.

Gehört eine Primärkomponente $P_{i}$ nicht zu einem minimalen Element von $Ass(M/U)$, so wird $P_{i}$ eine eingebettete Primärkomponente genannt. Diese sind nicht unbedingt eindeutig (siehe unten).

Satz von Lasker-Noether

Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen der Primärzerlegung in noetherschen Ringen nennt man auch Satz von Lasker-Noether. Er lautet

Jedes Ideal $I\subset R$ eines noetherschen Ringes $R$ gestattet eine reduzierte Primärzerlegung $I=P_{1}\cap \ldots \cap P_{n}$. Die Primradikale $p_{i}$ der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_i} sind eindeutig bestimmt; es handelt sich genau um die Primideale der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I:(x):= \{r\in R|\ rx\in I\}} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} alle Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} durchläuft.

Dieser Satz wurde zunächst von Emanuel Lasker, der vor allem als Schachweltmeister bekannt ist, für Polynomringe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K[X_1,\ldots,X_n]} über einem Körper bewiesen. Emmy Noether hat dann erkannt, dass sich die Argumente auf die aufsteigende Kettenbedingung zurückführen lassen und daher allgemeiner für noethersche Ringe gelten. Das erklärt die Benennung dieses Satzes. Die Verallgemeinerung auf endlich erzeugte Moduln über einem noetherschen Ring ist dann Routine.

Sätze

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge eines Ringes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=\bigcap_{1 \le i \le n} P_i}

eine reduzierte Primärzerlegung eines Untermoduls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subset M} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i} -primären Untermoduln Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_i} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} , so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_S = \bigcap_{p_i \cap S = \empty} (P_i)_S}

eine reduzierte Primärdarstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_S} .

Beispiele

In den ganzen Zahlen

Ist zum Beispiel in den ganzen Zahlen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=p_1^{n_1}\cdot \dots \cdot p_n^{n_i}}

mit Primzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i} , so ist die Primärzerlegung des von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} erzeugten Hauptideals

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (k)=(p_1^{n_1}) \cap \dots \cap (p_n^{n_i})} .

In einem Koordinatenring

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ein Körper, so hat das Ideal

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I:=(x^2,xy) \subset K[x,y]}

die Primärzerlegungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I = (x) \cap \ (x,y)^2 = (x) \cap (x^2,y)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)^2} ist als Potenz eines maximalen Ideals primär; im Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K[x,y]/(x^2,y)} ist jeder Nullteiler nilpotent, daher ist das Ideal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x^2,y)} auch primär. Sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)^2} als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x^2,y)} sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)} -primär. Dieses Beispiel zeigt, dass die Primärzerlegung selbst nicht eindeutig ist, wohl aber die assoziierten Primideale.

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9