Pro-Lie-Gruppe

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Eine Pro-Lie-Gruppe ist in der Mathematik eine topologische Gruppe, die sich in gewisser Weise als Grenzwert von Lie-Gruppen schreiben lässt.

Die Klasse aller Pro-Lie-Gruppen enthält alle Lie-Gruppen, kompakten Gruppen und zusammenhängenden lokalkompakten Gruppen, ist aber abgeschlossen unter beliebigen Produkten, was sie oft einfacher zu handhaben macht als beispielsweise die Klasse der lokalkompakten Gruppen. Lokalkompakte Pro-Lie-Gruppen sind seit der Lösung des fünften Hilbertschen Problems durch Andrew Gleason, Deane Montgomery und Leo Zippin bekannt, die Erweiterung auf nichtlokalkompakte Pro-Lie-Gruppen ist im Wesentlichen auf das Buch The Lie-Theory of Connected Pro-Lie Groups von Karl Heinrich Hofmann und Sidney Morris zurückzuführen, hat aber inzwischen auch viele Autoren angezogen.

Definition

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe mit Verknüpfung und neutralem Element versehen mit einer Topologie, sodass sowohl (mit der Produkttopologie auf ) als auch die Inversenbildung stetig sind. Eine Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe, auf der es zusätzlich eine differenzierbare Struktur gibt, sodass die Multiplikation und Inversenbildung glatt sind. Eine solche Struktur ist – falls sie existiert – immer eindeutig.

Eine topologische Gruppe ist genau dann eine Pro-Lie-Gruppe, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

  • Die Gruppe ist der projektive Limes einer Familie von Lie-Gruppen, genommen in der Kategorie der topologischen Gruppen.
  • Die Gruppe ist topologisch isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe eines (eventuell unendlichen) Produktes von Lie-Gruppen.
  • Die Gruppe ist vollständig (bzgl. ihrer linken uniformen Struktur) und jede offene Umgebung des Eins-Elementes der Gruppe enthält einen abgeschlossenen Normalteiler , sodass die Quotientengruppe eine Lie-Gruppe ist.

Man beachte, dass in diesem Artikel – sowie in der Literatur über Pro-Lie-Gruppen – eine Lie-Gruppe immer endlichdimensional und hausdorffsch ist, aber nicht zweitabzählbar sein muss. Insbesondere sind also überabzählbare diskrete Gruppen nach dieser Terminologie (nulldimensionale) Lie-Gruppen und somit insbesondere Pro-Lie-Gruppen.

Beispiele

  • Jede Lie-Gruppe ist eine Pro-Lie-Gruppe.
  • Jede endliche Gruppe wird mit der diskreten Topologie zu einer (nulldimensionalen) Lie-Gruppe und somit insbesondere zu einer Pro-Lie-Gruppe.
  • Jede proendliche Gruppe ist somit eine Pro-Lie-Gruppe.
  • Jede kompakte Gruppe lässt sich in ein Produkt von (endlichdimensionalen) unitären Gruppen einbetten und ist somit eine Pro-Lie-Gruppe.
  • Jede lokalkompakte Gruppe besitzt eine offene Untergruppe, die eine Pro-Lie-Gruppe ist, insbesondere ist jede zusammenhängende lokalkompakte Gruppe eine Pro-Lie-Gruppe.
  • Jede abelsche lokalkompakte Gruppe ist eine Pro-Lie-Gruppe.
  • Die Butcher-Gruppe aus der Numerik ist eine Pro-Lie-Gruppe, die nicht lokalkompakt ist.
  • Allgemeiner ist jede Charaktergruppe einer (reellen oder komplexen) Hopf-Algebra eine Pro-Lie-Gruppe, die in vielen interessanten Fällen nicht lokalkompakt ist.[1]
  • Die Menge aller reellwertigen Funktionen von einer Menge ist mit der punktweisen Addition und der Topologie der punktweisen Konvergenz (Produkttopologie) eine abelsche Pro-Lie-Gruppe, die für unendliches nicht lokalkompakt ist.
  • Die projektive spezielle lineare Gruppe über dem Körper der -adischen Zahlen ist ein Beispiel einer lokalkompakten Gruppe, die keine Pro-Lie-Gruppe ist. Dies liegt daran, dass sie einfach ist und somit die dritte oben genannte Bedingung in der Definition einer Pro-Lie-Gruppe nicht erfüllt sein kann.

Literatur

  • Karl H. Hofmann, Sidney Morris: The Lie-Theory of Connected Pro-Lie Groups. European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN 978-3-03719-032-6.

Einzelnachweise

  1. Geir Bogfjellmo, Rafael Dahmen & Alexander Schmeding: Character groups of Hopf algebras as infinite-dimensional Lie groups. in: Annales de l’Institut Fourier 2016. Theorem 5.6