Pro-Lie-Gruppe

Eine Pro-Lie-Gruppe ist in der Mathematik eine topologische Gruppe, die sich in gewisser Weise als Grenzwert von Lie-Gruppen schreiben lässt.

Die Klasse aller Pro-Lie-Gruppen enthält alle Lie-Gruppen, kompakten Gruppen und zusammenhängenden lokalkompakten Gruppen, ist aber abgeschlossen unter beliebigen Produkten, was sie oft einfacher zu handhaben macht als beispielsweise die Klasse der lokalkompakten Gruppen. Lokalkompakte Pro-Lie-Gruppen sind seit der Lösung des fünften Hilbertschen Problems durch Andrew Gleason, Deane Montgomery und Leo Zippin bekannt, die Erweiterung auf nichtlokalkompakte Pro-Lie-Gruppen ist im Wesentlichen auf das Buch The Lie-Theory of Connected Pro-Lie Groups von Karl Heinrich Hofmann und Sidney Morris zurückzuführen, hat aber inzwischen auch viele Autoren angezogen.

Definition

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe $G$ mit Verknüpfung $\cdot$ und neutralem Element $e$ versehen mit einer Topologie, sodass sowohl $\cdot \colon G\times G\to G$ (mit der Produkttopologie auf $G\times G$) als auch die Inversenbildung $x\mapsto x^{-1}$ stetig sind. Eine Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe, auf der es zusätzlich eine differenzierbare Struktur gibt, sodass die Multiplikation und Inversenbildung glatt sind. Eine solche Struktur ist – falls sie existiert – immer eindeutig.

Eine topologische Gruppe $G$ ist genau dann eine Pro-Lie-Gruppe, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

• Die Gruppe $G$ ist der projektive Limes einer Familie von Lie-Gruppen, genommen in der Kategorie der topologischen Gruppen.
• Die Gruppe $G$ ist topologisch isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe eines (eventuell unendlichen) Produktes von Lie-Gruppen.
• Die Gruppe ist vollständig (bzgl. ihrer linken uniformen Struktur) und jede offene Umgebung $U$ des Eins-Elementes der Gruppe enthält einen abgeschlossenen Normalteiler $N\subseteq U$, sodass die Quotientengruppe $G/N$ eine Lie-Gruppe ist.

Man beachte, dass in diesem Artikel – sowie in der Literatur über Pro-Lie-Gruppen – eine Lie-Gruppe immer endlichdimensional und hausdorffsch ist, aber nicht zweitabzählbar sein muss. Insbesondere sind also überabzählbare diskrete Gruppen nach dieser Terminologie (nulldimensionale) Lie-Gruppen und somit insbesondere Pro-Lie-Gruppen.

Beispiele

• Jede Lie-Gruppe ist eine Pro-Lie-Gruppe.
• Jede endliche Gruppe wird mit der diskreten Topologie zu einer (nulldimensionalen) Lie-Gruppe und somit insbesondere zu einer Pro-Lie-Gruppe.
• Jede proendliche Gruppe ist somit eine Pro-Lie-Gruppe.
• Jede kompakte Gruppe lässt sich in ein Produkt von (endlichdimensionalen) unitären Gruppen einbetten und ist somit eine Pro-Lie-Gruppe.
• Jede lokalkompakte Gruppe besitzt eine offene Untergruppe, die eine Pro-Lie-Gruppe ist, insbesondere ist jede zusammenhängende lokalkompakte Gruppe eine Pro-Lie-Gruppe.
• Jede abelsche lokalkompakte Gruppe ist eine Pro-Lie-Gruppe.
• Die Butcher-Gruppe aus der Numerik ist eine Pro-Lie-Gruppe, die nicht lokalkompakt ist.
• Allgemeiner ist jede Charaktergruppe einer (reellen oder komplexen) Hopf-Algebra eine Pro-Lie-Gruppe, die in vielen interessanten Fällen nicht lokalkompakt ist.
• Die Menge $\mathbb {R} ^{J}$aller reellwertigen Funktionen von einer Menge $J$ ist mit der punktweisen Addition und der Topologie der punktweisen Konvergenz (Produkttopologie) eine abelsche Pro-Lie-Gruppe, die für unendliches $J$ nicht lokalkompakt ist.
• Die projektive spezielle lineare Gruppe $\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})$ über dem Körper der $p$-adischen Zahlen ist ein Beispiel einer lokalkompakten Gruppe, die keine Pro-Lie-Gruppe ist. Dies liegt daran, dass sie einfach ist und somit die dritte oben genannte Bedingung in der Definition einer Pro-Lie-Gruppe nicht erfüllt sein kann.

Literatur

• Karl H. Hofmann, Sidney Morris: The Lie-Theory of Connected Pro-Lie Groups. European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN 978-3-03719-032-6.