Pseudo-Isotopie

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In der Mathematik ist Pseudo-Isotopie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Isotopie.

Verschiedene Probleme der Differentialtopologie lassen sich auf die Frage zurückführen, ob pseudo-isotope Abbildungen auch isotop sind.

Definition

Zwei Diffeomorphismen

einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit heißen pseudo-isotop, wenn es einen Diffeomorphismus

gibt, dessen Einschränkung auf bzw. mit bzw. übereinstimmt.

Eine Pseudo-Isotopie ist eine Isotopie, wenn für alle die Niveaumenge auf sich abbildet.

Cerf's Pseudoisotopy Theorem

Cerf's Pseudoisotopy Theorem ist eine Verallgemeinerung des h-Kobordismus-Satzes.

Es besagt, dass für alle einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten der Dimension zwei pseudo-isotope Abbildungen stets auch isotop sind.

Für nicht einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten gibt es hingegen Obstruktionen in der algebraischen K-Theorie.

Anwendung

Aus dem Pseudoisotopy Theorem folgt, dass es für eine Bijektion zwischen den exotischen Sphären in Dimension und den Zusammenhangskomponenten der Diffeomorphismengruppe der gibt.

Literatur

  • Jean Cerf: La stratification naturelle des espaces de fonctions differentiables réelles et le théoreme de la pseudo-isotopie. Publ. IHES 39, 5–173 (1970).