Pseudo-Isotopie

In der Mathematik ist Pseudo-Isotopie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Isotopie.

Verschiedene Probleme der Differentialtopologie lassen sich auf die Frage zurückführen, ob pseudo-isotope Abbildungen auch isotop sind.

Definition

Zwei Diffeomorphismen

$f_{0},f_{1}\colon M\to M$

einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit heißen pseudo-isotop, wenn es einen Diffeomorphismus

$F\colon M\times \left[0,1\right]\to M\times \left[0,1\right]$

gibt, dessen Einschränkung auf $M\times \left\{0\right\}$ bzw. $M\times \left\{1\right\}$ mit $f_{0}$ bzw. $f_{1}$ übereinstimmt.

Eine Pseudo-Isotopie ist eine Isotopie, wenn $F$ für alle $t\in \left[0,1\right]$ die Niveaumenge $M\times \left\{t\right\}$ auf sich abbildet.

Cerf's Pseudoisotopy Theorem

Cerf's Pseudoisotopy Theorem ist eine Verallgemeinerung des h-Kobordismus-Satzes.

Es besagt, dass für alle einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten der Dimension $n\geq 5$ zwei pseudo-isotope Abbildungen $f_{0},f_{1}$ stets auch isotop sind.

Für nicht einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten gibt es hingegen Obstruktionen in der algebraischen K-Theorie.

Anwendung

Aus dem Pseudoisotopy Theorem folgt, dass es für $n\geq 5$ eine Bijektion zwischen den exotischen Sphären in Dimension $n+1$ und den Zusammenhangskomponenten der Diffeomorphismengruppe der $S^{n}$ gibt.

Literatur

• Jean Cerf: La stratification naturelle des espaces de fonctions differentiables réelles et le théoreme de la pseudo-isotopie. Publ. IHES 39, 5–173 (1970).