Pughs Schließungslemma

In der Theorie dynamischer Systeme besagt Pughs Schließungslemma, dass ein dynamisches System mit nichtwandernden Punkten in der $C^{1}$-Topologie beliebig gut durch dynamische Systeme mit periodischen Orbiten approximiert werden kann. Es wurde von Charles C. Pugh bewiesen.

Es ist eine offene Frage, ob dies auch in der $C^{\infty }$-Topologie gilt (10. Smalesches Problem). René Thom hatte vor Pugh einen fehlerhaften Beweis veröffentlicht (den Fehler fand Mauricio Peixoto).

10. Smalesches Problem

Sei $f\colon M\to M$ ein $C^{\infty }$-Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit $M$ und $p\in M$ ein nichtwandernder Punkt von $f$.

Eines der Smaleschen Probleme fragt, ob es in der $C^{\infty }$-Topologie beliebig nahe zu $f$ liegende $C^{\infty }$-Diffeomorphismen $g\colon M\to M$ gibt, für die $p$ ein periodischer Punkt ist.

Es soll also zu jedem $\epsilon >0$ einen $C^{\infty }$-Diffeomorphismus $g\colon M\to M$ geben, so dass

$d(f(x),g(x))<\epsilon$ und $\parallel D_{x}^{k}f-D_{x}^{k}g\parallel <\epsilon \ \forall k\in \mathbb {N} \ \forall x\in M$

(für eine beliebig gewählte Riemannsche Metrik) sowie $g^{n}(p)=p$ für ein $n\in \mathbb {N}$ ist.

Diese Frage ist ein offenes Problem. Bewiesen ist nur das folgende Schließungslemma von Pugh, welches lediglich die Approximierbarkeit in der $C^{1}$-Topologie garantiert.

Pughsches Schließungslemma

Sei $f\colon M\to M$ ein $C^{1}$-Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit $M$ und $p\in M$ ein nichtwandernder Punkt von $f$.

Das Schließungslemma von Pugh besagt, dass es in der $C^{1}$-Topologie beliebig nahe zu $f$ liegende $C^{1}$-Diffeomorphismen $g\colon M\to M$ gibt, für die $p$ ein periodischer Punkt ist.

Es gibt also zu jedem $\epsilon >0$ einen $C^{1}$-Diffeomorphismus $g\colon M\to M$, so dass

$d(f(x),g(x))<\epsilon$ und $\parallel D_{x}f-D_{x}g\parallel <\epsilon \ \forall x\in M$

(für eine beliebig gewählte Riemannsche Metrik) sowie $g^{n}(p)=p$ für ein $n\in \mathbb {N}$ ist.

Siehe auch

• Anosovs Schließungslemma

Weblinks

• Christian Bonatti, Pugh closing lemma, Scholarpedia

Literatur

• Pugh, Charles C. (1967). "An Improved Closing Lemma and a General Density Theorem". American Journal of Mathematics 89 (4): 1010–1021.
• Smale, Steve (1998). "Mathematical Problems for the Next Century". Mathematical Intelligencer 20 (2): 7–15.