Quandle

In der Mathematik sind Quandle eine algebraische Struktur, die vor allem in der Knotentheorie Anwendung findet.

Definition

Ein Quandle ist eine Menge $Q$ mit einer Operation $\triangleright$, so dass für alle $x,y,z\in Q$ gilt:

(i) $x\triangleright x=x$

(ii) die durch $f_{y}(x)=x\triangleright y$ definierte Abbildung $f_{y}\colon Q\to Q$ ist eine Bijektion

(iii) $(x\triangleright y)\triangleright z=(x\triangleright z)\triangleright (y\triangleright z)$.

Bedingung (iii) heißt Selbstdistributivität.

Weil $f_{y}$ eine Bijektion ist, gibt es eine inverse Abbildung $f_{y}^{-1}\colon Q\to Q$. Die Operation $\triangleright ^{-1}$ wird für $x,y\in Q$ durch

$x\triangleright ^{-1}y:=f_{y}^{-1}(x)$

definiert.

Reidemeister-Bewegungen

Die Quandle-Operationen lassen sich mittels der Reidemeister-Bewegungen von Knotendiagrammen interpretieren:

• 

  Reidemeister I

• 

  Reidemeister II

• 

  Reidemeister III

Beispiele

• Jede abelsche Gruppe $A$ ist ein Quandle mit der Operation

$x\triangleright y=2y-x$.

• Für eine Gruppe $G$ und $n\in \mathbb {N}$ definiert man den Quandle $Conj_{n}(G)$ als die Menge $G$ mit der Operation

$x\triangleright y=y^{-n}xy^{n}$.

• Für eine Gruppe $G$ definiert man den Quandle $Core(G)$ als die Menge $G$ mit der Operation

$x\triangleright y=yx^{-1}y$.

• Jeder $\mathbb {Z} \left[t^{\pm 1}\right]$-Modul ist ein Quandle mit der Operation

$x\triangleright y=tx+(1-t)y$.

Diese Quandle werden als Alexander-Quandle bezeichnet.

• Der Fundamentalquandle eines Knotens (oder allgemeiner einer Verschlingung) $K\subset S^{3}$ ist definiert wie folgt. Sei $X_{K}=S^{3}\setminus int(N(K))$ das Komplement einer regulären Umgebung und $x_{0}\in \partial X_{K}$. Definiere

$Q(K)=\pi _{1}(C(K),\partial C(K),x_{0})$

mit der (wohldefinierten) Verknüpfung

$\left[\gamma _{1}\right]\triangleright \left[\gamma _{2}\right]=\left[\gamma _{2}\circ m_{\gamma _{2}(1)}\circ \gamma _{2}^{-1}\circ \gamma _{1}\right]$,

wobei $m_{\gamma _{2}(1)}$ den Meridian durch $\gamma _{2}(1)$ bezeichnet.

Literatur

• David Joyce: A classifying invariant of knots, the knot quandle. J. Pure Appl. Algebra 23 (1982), no. 1, 37–65.
• Sergei Matwejew: Distributive groupoids in knot theory. (russisch) Mat. Sb. (N.S.) 119(161) (1982), no. 1, 78–88, 160.

Weblinks

• Scott Carter: A Survey of Quandle Ideas
• Gavin Wraith: A personal story about knots