σ-Algebra der invarianten Ereignisse

Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse ist eine spezielle σ-Algebra, die in der Ergodentheorie Verwendung findet. Dort dient sie beispielsweise zur Definition der Ergodizität oder zur Formulierung des individuellen Ergodensatzes und des L^p-Ergodensatzes.

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $T:\Omega \to \Omega$ eine messbare Abbildung.

Ein $A\in {\mathcal {A}}$ heißt ein invariantes Ereignis, wenn $T^{-1}(A)=A$ ist.

Die Menge aller invarianten Ereignisse, also

${\mathcal {I}}:=\{A\in {\mathcal {A}}\,|\,T^{-1}(A)=A\}$,

heißt dann die σ-Algebra der invarianten Ereignisse.

Eigenschaften

• Dass ${\mathcal {I}}$ tatsächlich eine σ-Algebra ist, folgt direkt aus der Verträglichkeit der Urbildoperation mit den Mengenoperationen.
• Eine Funktion von $\Omega$ nach $\mathbb {R}$ ist genau dann ${\mathcal {I}}$-messbar, wenn sie ${\mathcal {A}}$-messbar ist und $f\circ T=f$ gilt.

Quasi-invariante Ereignisse

Eine Abschwächung des Begriffes eines invarianten Ereignisses ist ein quasi-invariantes Ereignis. Dabei wird die Gleichheit nur fast sicher gefordert. Demnach heißt ein $A\in {\mathcal {A}}$ quasi-invariant, wenn

$\chi _{A}=\chi _{T^{-1}(A)}\quad P{\text{-fast sicher}}$

gilt. Auch die quasi-invarianten Ereignisse bilden für maßerhaltende Abbildungen $T$ eine σ-Algebra, sie ist gegeben durch

${\mathcal {I}}_{P}:=\{A\in {\mathcal {A}}\,|\,\chi _{A}=\chi _{T^{-1}(A)}\ P{\text{-fast sicher}}\}$.

Tatsächlich unterscheiden sich die quasi-invarianten Ereignisse und die invarianten Ereignisse kaum, denn es lässt sich zeigen, dass für jedes $A\in {\mathcal {I}}_{P}$ ein $B\in {\mathcal {I}}$ gibt, so dass $P(A\,\triangle \,B)=0$ ist. Es lässt sich also zu jeder quasi-invarianten Menge immer eine invariante Menge finden, so dass diese sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.