Randverteilung

Darstellung der Standardabweichungsellipse einer zweidimensionalen Normalverteilung sowie der beiden Marginalverteilungen (rot und blau).

Als Randverteilungen oder Marginalverteilung werden in der Stochastik die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Teilfamilien einer gegebenen Familie von Zufallsvariablen bezeichnet. Die Verteilung der gesamten Familie wird zur Verdeutlichung auch gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen genannt. Sind beispielsweise $X$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} Zufallsvariablen (auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum), dann heißen die Verteilungen der einzelnen Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} die Randverteilungen des Zufallsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X,Y)} .

Randverteilungen kann man sowohl für diskrete als auch für stetige Merkmale berechnen. Wie bei Verteilungen allgemein unterscheidet man dementsprechend:

diskrete Randverteilungen
stetige Randverteilungen

Außerdem kann man die Randverteilung sowohl für absolute Häufigkeiten als auch für relative Häufigkeiten bilden. Die einzelnen Werte der Randverteilung nennt man dann Randhäufigkeiten (auch Marginalhäufigkeiten oder marginale Häufigkeiten). Die Randhäufigkeiten für kategorial unterteilte (distinkte) Merkmale lassen sich am Rand einer Kontingenztafel ablesen. Sie sind hier die Summen der Häufigkeiten über das vernachlässigte Merkmal hinweg.

Beispiel anhand von Kontingenztafeln

Randverteilungen diskreter Merkmale lassen sich in Kontingenztafeln darstellen. Am Rand dieser Tafel lassen sich die Randhäufigkeiten, die zusammen die Randverteilung bilden, als Summen über das vernachlässigte Merkmal ablesen.

Beispielsweise ist hier eine Kontingenztafel mit absoluten Häufigkeiten zu sehen.

	Mann	Frau	Randhäufigkeiten
Klasse 10	10	10	20
Klasse 11	4	16	20
Randhäufigkeiten	14	26	40

Die Randhäufigkeit in der Klasse 10 zu sein unter der Vernachlässigung dessen, ob man männlich oder weiblich ist, beträgt 20. Die entsprechende Randhäufigkeit für Klasse 11 ist ebenso 20. Die Randverteilung ist also gleichverteilt, weil es gleich viele Schüler in beiden Klassen gibt. Das Merkmal Klasse ist distinkt, das heißt in klar abgegrenzte Kategorien unterteilt.

Dieselbe Tabelle wäre auch mit relativen Häufigkeiten denkbar. Die relativen Randhäufigkeiten sind dann gemäß der frequentistischen Interpretation ein Schätzer für die Randwahrscheinlichkeiten.

Es gibt allerdings auch Merkmale, die nicht in Kategorien unterteilt sind, wie zum Beispiel Körpergröße. Diese Merkmale sind stetig, weil es fließende Übergänge zwischen allen möglichen Ausprägungen des Merkmals gibt. Solche Merkmale lassen sich nicht in Tabellen darstellen. Um die Darstellung in einer Kontingenztafel dennoch zu ermöglichen ist es möglich, das Merkmal in Klassen (gemeint sind hier Kategorien) einzuteilen, indem man sogenannte Klassengrenzen festlegt.^[1] Das stetige Merkmal Körpergröße könnten man einteilen, indem man als Klassengrenze 142 cm festlegt und die Personen in Leute größer als 142 cm und nicht größer als 142 cm einteilt. Für diese in Klassen eingeteilte Gruppen lassen sich nun wieder Klassenhäufigkeiten messen, die man in einer Kontingenztafel einträgt. Da eine Person, die in einer Klasse (> 142) ist, nicht zugleich in einer anderen Klasse (≤ 142) sein kann, spricht man auch von einer Einteilung in disjunkte Mengen.

Definition

Gegeben sei eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega_1\times\cdots\times\Omega_n} -wertige Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=(X_1, \dotsc, X_n )} mit einer multivariaten Verteilung $P_{Z}$ als Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann heißt die Verteilung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{X_i}(A):=P_Z(\Omega_1 \times \dotsb \times \Omega_{i-1}\times A \times \Omega_{i+1} \times \dotsb \times \Omega_n )}

die i-te Randverteilung oder die i-te Marginalverteilung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z } . Alternativ wird sie auch definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{X_i}(A)=P(X_1\in \Omega_1, \dotsc, X_{i-1}\in \Omega_{i-1},X_i\in A , X_{i+1}\in \Omega_{i+1}, \dotsc, X_{n}\in \Omega_{n} ) } .

Im Zweidimensionalen mit $Z=(X,Y)$ wäre also die erste Randverteilung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_X(A)=P_Z(A \times \Omega_2 ) \text{ bzw. } P_X(A)=P(X\in A, Y \in \Omega_2) } .

Allgemeiner lassen sich Randverteilungen auch für jede Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J \subset I= \{1, \dotsc, n\} } definieren. Ist $|J|=m$ , so heißen sie m-dimensionale Randverteilungen. Sie sind dann definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{X_J}(A) \;=\; \begin{cases} P(X_i\in A_i) & \mbox{wenn } i \in J \\ X_{i}\in \Omega_i & \mbox{sonst.} \end{cases}}

für

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \prod_{i \in J} A_i} .

Elementare Eigenschaften

Es existieren genau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tbinom{n}{m}} m-dimensionale Randverteilungen.
Aus Sicht der Maßtheorie handelt es sich bei Randverteilungen um die Bildmaße unter den Projektionen auf eine oder mehrere Koordinaten.
Sind die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i } stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, so ist die gemeinsame Verteilung der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i } genau das Produkt der eindimensionalen Randverteilungen.

Abgeleitete Begriffe

Rand-Verteilungsfunktion

Besitzt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z } die Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_Z \colon \R^n \to [0,1] } , so lässt sich auch eine Rand-Verteilungsfunktion als Verteilungsfunktion der Randverteilungen angeben. Für die eindimensionalen Randverteilungen ist sie definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_{X_i}(x_i)=F_Z(\infty, \dotsc, \infty, x_i, \infty, \dotsc, \infty) } .

Alle Komponenten bis auf die i-te werden also auf unendlich gesetzt. Analog geht man bei den m-dimensionalen Rand-Verteilungsfunktionen vor. Alle Komponenten in $J$ bleiben erhalten, alle anderen werden auf unendlich gesetzt. Für den zweidimensionalen Fall mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=(X,Y) } ergibt sich dann als die erste Randverteilungsfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_X(x)=F_Z(x, \infty) } .

Randdichte

Ebenso lassen sich für Randverteilungen auch Wahrscheinlichkeitsdichten angeben, die Randdichten genannt werden. Das sind diejenigen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{X_i} } , für die

F_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{x_{i}}f_{X_{i}}(t)\ \mathrm {d} t

gilt. Besitzt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z } eine gemeinsame Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_Z(x_1, \dotsc, x_n) } , so lässt sich die Rand-Dichte auch als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{X_i}(x_i):= \int_{-\infty}^{\infty} \dotsi \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \dotsi \int_{-\infty}^{\infty} f_Z(x_1, \dotsc, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \dotsc, x_n)\ \mathrm d x_{1} \dotsm \mathrm d x_{i-1}\mathrm d x_{i+1} \dotsm \mathrm d x_{n} }

definieren. Für m-dimensionale Rand-Dichten geht man analog vor, man integriert dann über alle Komponenten, die nicht in $J$ enthalten sind. Im Zweidimensionalen mit $Z=(X,Y)$ erhält man dann mittels Integration über die jeweils andere Komponente als Rand-Dichten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_Z(x,y)\ \mathrm dy}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_Z(x,y)\ \mathrm dx}

Rand-Wahrscheinlichkeitsfunktion

Ebenso wie Rand-Dichten lassen sich auch Rand-Wahrscheinlichkeitsfunktionen angeben. Im Wesentlichen wird dabei nur die Integration durch die Summation ersetzt. Hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z } eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{n})$ , so ist die i-te Rand-Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{X_i}(x_i)=\sum_{j \neq i \atop x_j \in \Z} f_Z(x_1, \dotsc, x_n ) } .

Ebenso erhält man die m-dimensionalen Randverteilungen durch Summation, wenn man die Komponenten von Interesse nicht mitsummiert. Im zweidimensionalen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=(X,Y) } ergibt sich dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_X(x_i) = \sum_{k\in K} f_Z(x_i, y_k)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_Y(y_k) = \sum_{i\in I} f_Z(x_i, y_k)} .

Beispiel Multinomialverteilung

In zwei Dimensionen

Sei als Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=(X,Y) } zweidimensional multinomialverteilt, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z \sim M(n,(p,1-p)) } . Demnach hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z } die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_Z(x,y) \;=\; \begin{cases} {n \choose x,y} \; p^{x} (1-p)^y & \mbox{wenn } x+y = n \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}} .

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {n \choose x,y} } der Multinomialkoeffizient. Setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=n-x } , so ergibt sich direkt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_Z(x,y)={n \choose x} p^x (1-p)^{n-x} } .

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lässt sich also unabhängig von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } darstellen. Demnach ist die Randdichte von $X$ , die durch Aufsummieren über alle $y$ entsteht, wieder genau die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z } , bloß ohne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } als Variable. Es ist also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_X(x)={n \choose x} p^x (1-p)^{n-x} } ,

die Randverteilung der Multionomialverteilung ist also eine Binomialverteilung mit den Parametern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n } .

In mehreren Dimensionen

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=(X_1, \dotsc, X_m) } und $m$ -dimensional multinomialverteilt, also $Z\sim M(n,(p_{1},\dotsc ,p_{m}))$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1 + \dotsb + p_m =1 } . Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_Z(x_1, \dotsc, x_m) \;=\; \begin{cases} {n \choose x_1, \dotsc, x_m} \; p_1^{x_1} \dotsm p_k^{x_m} & \mbox{wenn } x_1, \dotsc, x_m \in \mathbb{N}_0\mbox{ und } x_1 + \dotsb + x_m = n \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}} .

Zur Berechnung der ersten Randverteilung summiert man nun über alle $x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{m}$ . Zur Vereinfachung der Rechnung gruppiert man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_2 + \dotsb + p_m = 1 - p_1 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = n - (x_2 + \dotsb + x_m) } . Mithilfe des Multinomialtheorems folgt dann, dass die Randverteilung wieder binomialverteilt ist mit den Parametern $n$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1 } .

Literatur

I. N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-2006-0.
Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2.
Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.

Einzelnachweise

↑ P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Lexikon der Stochastik. Akademie-Verlag, Berlin 1980, S. 116 und S. 124.

[1] P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Lexikon der Stochastik. Akademie-Verlag, Berlin 1980, S. 116 und S. 124.

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