Rang-Vermutung

In der Mathematik war die Rang-Vermutung (engl. rank conjecture oder rank vs. genus conjecture) eine die Poincaré-Vermutung verallgemeinernde Vermutung über 3-Mannigfaltigkeiten.

Die Fundamentalgruppe $\pi _{1}M$ ist eine wichtige Invariante geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten $M$. Zum Beispiel besagt die (2003 von Perelman bewiesene) Poincaré-Vermutung, dass eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit genau dann die 3-Sphäre ist, wenn $\pi _{1}M=0$ gilt.

Der Rang einer (endlich erzeugten) Gruppe ist die minimale Anzahl von Erzeugern. Der Rang der Fundamentalgruppe $\pi _{1}M$ wird mit $\operatorname {rk} (M)$ bezeichnet. Aus dem Satz von Grushko folgt $\operatorname {rk} (M_{1}\sharp M_{2})=\operatorname {rk} (M_{1})+\operatorname {rk} (M_{2})$. Eine äquivalente Formulierung der Poincaré-Vermutung besagt

$rk(M)=0\Longleftrightarrow M\cong S^{3}$

für geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten.

Waldhausen stellte in den 60er Jahren die (1970 in einer Arbeit Hakens als „verallgemeinerte Poincaré-Vermutung“ bezeichnete) Frage, ob für kompakte 3-Mannigfaltigkeiten $M$ die Gleichung

$rk(M)=g(M)$

für das Heegaard-Geschlecht $g(M)$ gilt. Weil die Fundamentalgruppe eines der beiden Henkelkörper einer Heegaard-Zerlegung bereits $\pi _{1}M$ erzeugt, gilt $rk(M)\leq g(M)$. Die Frage nach der Gleichheit wurde oft als rank vs. genus conjecture bezeichnet.

Die Vermutung ist korrekt für 3-Mannifaltigkeiten mit $g(M)\leq 2$. Erste Gegenbeispiele von Seifert-Faserungen mit $g(M)=3$ und $rk(M)=2$ fanden 1983 Boileau und Zieschang. Tatsächlich gibt es Graphmannigfaltigkeiten mit beliebig großen Werten für die Differenz $g(M)-rk(M)$. Diese Konstruktionen benutzten die Existenz zentraler Elemente in Fundamentalgruppen von Seifert-Faserungen, weshalb die Vermutung dann als rank conjecture oder rank vs. genus conjecture eingeschränkt auf hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten betrachtet wurde. Nachdem die Vermutung dort für verschiedene Klassen hinreichend komplizierter hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen worden war, fand Tao Li 2011 Gegenbeispiele zur Rang-Vermutung.