Rayleighsche Dissipationsfunktion

Die Rayleighsche Dissipationsfunktion ist ein von Lord Rayleigh 1876 eingeführter Ansatz für eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in der klassischen Mechanik. Er lässt sich auch im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik formulieren.

Der Lagrangeformalismus beschreibt die Dynamik eines Systems über die Lagrangefunktion $L=T-V$ (mit $T$ der kinetischen Energie und $V$ der potentiellen Energie), wobei diese als Funktion von generalisierten Koordinaten $q_{i}$ (und ${\dot {q_{i}}}$ für die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit) aufgefasst wird (wobei der Index $i$ die Komponenten bezeichnet). Dann kann man geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte über eine nicht-konservative generalisierte Kraft $Q_{i}^{*}$ auf der rechten Seite der Lagrangegleichung berücksichtigen (siehe auch den Artikel Lagrange-Formalismus):

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{*}$

Rayleigh machte nun für die Reibungskraft $F_{i}$ in euklidischen Koordinaten $r_{i}$ (mit zugehöriger euklidischer Geschwindigkeit $v_{i}$) folgenden Ansatz:

$F_{i}=-\sum _{j}\,K_{ij}\,v_{j}$

mit der Dissipationsmatrix $K_{ij}$. Die zugehörige Dissipationsfunktion

$K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j}\,K_{ij}\,v_{i}\,v_{j}$

ist im einfachsten Fall einer diagonalen Dissipationsmatrix

$K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i}\,k_{i}\,v_{i}^{2}$

Mit der Dissipationsfunktion ist die Reibungskraft demnach:

$F_{i}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}K$

Beim Übergang zu generalisierten Koordinaten $q_{i}$ ergibt sich

$Q_{i}^{*}=\sum _{j}\,F_{j}\,{\frac {\partial r_{j}}{\partial q_{i}}}$

Wegen $v_{i}(t,q,{\dot {q}})=\sum _{k}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}\,{\dot {q_{k}}}+{\frac {\partial r_{i}}{\partial t}}$ gilt:

${\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{k}}}}}={\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}$

und damit

$Q_{i}^{*}=-\sum _{j}\,{\frac {\partial K}{\partial v_{j}}}\,{\frac {\partial v_{j}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\dot {q_{i}}}}}$

Daneben kann es auch andere, nicht durch einen Rayleigh-Ansatz beschreibbare nicht-konservative generalisierte Kräfte zur Beschreibung von Reibung geben.

Literatur

• E. Minguzzi, Rayleigh's dissipation function at work, Eur. J. Phys., Band 36, 2015, S. 035014, arxiv