Exakter Funktor

Exakter Funktor ist ein mathematischer Begriff aus der Kategorientheorie.

Definition

Ein additiver, kovarianter Funktor $F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ heißt

• halbexakt, falls $FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''$ exakt ist
• linksexakt, falls $0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''$ exakt ist
• rechtsexakt, falls $FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0$ exakt ist
• exakt, falls $0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0$ exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen $0\rightarrow A\rightarrow A'\rightarrow A''\rightarrow 0$ in ${\mathfrak {C}}$.

Ein kontravarianter Funktor $F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor ${\mathfrak {C}}^{op}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.

Beispiele

• Die Hom-Funktoren $\mathrm {Hom} (A,-)$ und $\mathrm {Hom} (-,B)$ sind linksexakt.
• Die Tensorprodukt-Funktoren $(A\otimes -)$ und $(-\otimes B)$ sind rechtsexakt.
• Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.
• Für eine endliche Gruppe $G$ ist der Funktor „G-Invarianten“ von der Kategorie der $G$-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.
• Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.
• Für eine beliebige natürliche Zahl $n>1$ ist der Funktor

${\mathfrak {Ab}}\to {\mathfrak {Ab}},\quad M\mapsto nM$

auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.