Links- und rechtsseitige Stetigkeit

Links- und rechtsseitige Stetigkeit beschreibt in der Mathematik die Eigenschaft, dass eine Funktion nur von einer Seite aus gesehen stetig ist. Durch die „Aufteilung“ der Stetigkeit in linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit hat man die Eigenschaft einer stetigen Funktion, „keine Sprünge“ zu machen, aufgeteilt in die Eigenschaften, keine Sprünge zu machen, wenn man sich dem betrachteten Punkt von links bzw. von rechts nähert.

Mathematisch wird einseitige Stetigkeit mithilfe von einseitigen Grenzwerten beschrieben. Ein einseitiger Grenzwert nähert sich dem Wert nur von einer Seite, man unterscheidet also zwischen einem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

Graph einer in $x_{0}$ linksseitig stetigen Funktion $f$.

Definition

Eine Funktion $f$ heißt linksseitig stetig in einem Punkt ihres Definitionsbereichs Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0\in D_f \subseteq \R} , wenn für den linksseitigen Grenzwert die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0)}

gilt, dazu äquivalent wenn die Einschränkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ]-\infty, x_0] \cap D_f} stetig in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} ist, oder ebenfalls dazu äquivalent wenn die Bedingung

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\to x_{0}\Longrightarrow (f(a_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\to f(x_{0})$

für alle streng monoton steigenden Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_f} gilt.

Analog ist der Begriff der rechtsseitigen Stetigkeit (z. B. über streng monoton fallende Folgen) definiert. Die Stetigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} ist dann äquivalent dazu, dass die Funktion sowohl linksseitig als auch rechtsseitig in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} stetig ist. Dies ermöglicht eine Klassifizierung von Unstetigkeitsstellen.

Beispiele

Die Heaviside-Funktion ist in 0 rechtsseitig aber nicht linksseitig stetig. Die Vorzeichenfunktion ist in 0 dagegen weder linksseitig noch rechtsseitig stetig.

Literatur

• H. Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9).