Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Allgemeines

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle $x=0$ überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

Heaviside-Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Theta \colon \; & \R \to \{0,1\} \\ \ & x \mapsto \begin{cases} 0 : & x < 0\\ 1 : & x \ge 0 \end{cases} \end{align}}

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,+\infty)} der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur sind statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta(x)} auch davon abweichende Notationen geläufig:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(x)} , welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma(x)} nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
• $u(x)$ nach der Bezeichnung englisch unit step function.
• Auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon(x)} wird häufig verwendet.
• In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1(x)} .

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0} den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative Darstellungen

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0} kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Theta_c\colon \; & \R \to \mathbb{K} \\ \,& x \mapsto \begin{cases} 0 : & x < 0\\ c : & x = 0\\ 1 : & x > 0 \end{cases} \end{align}}

mit $0,1,c\in \mathbb {K}$. Es kann $\mathbb {K}$ also eine beliebige Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{K} = [0,1] \subset \R} verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_c(0) = c} ist.

Durch die Wahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c := \tfrac{1}{2}} und folglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_\frac{1}{2}(0) = \textstyle\frac{1}{2}} erreicht man, dass die Gleichungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_\frac{1}{2}(x) = \tfrac{1}{2}(\sgn{(x)} + 1)} und damit auch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_\frac{1}{2}( -x ) = 1 - \Theta_\frac{1}{2}(x)}

für alle reellen $x$ gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta(x)=-\lim_{ \varepsilon \to 0} {1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} \, \mathrm d \tau }

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}{1\over\pi}\left[ \arctan \left( {x\over\varepsilon} \right)+{\pi\over 2} \right]}

Eigenschaften

Differenzierbarkeit

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Theta(x) = \delta(x)}

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta (x)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta (x) } geeignet approximiert, z. B. durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_\epsilon (x) := \begin{cases} 0 & x< (-\epsilon) \\ \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{2\epsilon}\right) & |x|\le\epsilon \\ 1 & x>\epsilon \,, \end{cases} }

sowie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_\epsilon (x):= \begin{cases} 0 & |x| >\epsilon \\ \frac{1}{2\epsilon} & |x|\le\epsilon \,, \end{cases} }

wobei jeweils der Grenzwert $\lim _{\epsilon \searrow 0}$ betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden.

Integration

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x < 0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \geq 0} aus der Fallunterscheidung in der Definition:

• Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x > 0} gilt

  ${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t&=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{0}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{0}0\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}1\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}1\,\mathrm {d} t={\Big [}t{\Big ]}_{0}^{x}=x\end{aligned}}$

• Für $x\leq 0$ tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt

  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^x \left\{\begin{alignedat}{2} 0 & \text{,} & \quad & \text{falls }t < 0 \\ 1 & \text{,} & & \text{falls }t \geq 0 \end{alignedat}\right.\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^x 0\,\mathrm{d}t = 0} .

Zusammengenommen gilt also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \left\{\begin{alignedat}{2} 0 & \text{,} & \quad & \text{falls }x \leq 0 \\ x & \text{,} && \text{falls }x > 0 \end{alignedat}\right.}

beziehungsweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \max\left\{0, x\right\}} .

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \max\left\{0, x\right\} + C} .

Siehe auch

• Sprungantwort
• Schwellenwert (Elektronik), Schwellenwertverfahren
• Rechteckfunktion
• Föppl-Klammer
• Vorzeichenfunktion
• Fermi-Verteilung

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Heaviside Step Function. In: MathWorld (englisch).