Sprungantwort
Die Sprungantwort ist das Ausgangssignal eines linearen, zeitinvarianten Systems (LZI-System), dem am Eingang die Sprungfunktion zugeführt wird. Sie wird dann als Übergangsfunktion bezeichnet, wenn die Höhe des Eingangssprunges 1 beträgt (Einheitssprungfunktion) bzw. durch die Höhe des Eingangssprunges dividiert wurde.
Mathematische Beschreibung
Die Sprungantwort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(t)} lässt sich auch als Faltung der Sprungfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma (t)} mit der Impulsantwort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(t)} berechnen:
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle h(t)=(g*\sigma )(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )\sigma (t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau =\int \limits _{-\infty }^{t}{g(\tau )}\,\mathrm {d} \tau }
Die Sprungantwort ist somit das zeitliche Integral der Impulsantwort.
Im diskreten:
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle h[n]=(g*\sigma )[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }g[n-k]\sigma [k]=\sigma [n]\sum _{k=0}^{\infty }g[n-k]}
Da die Übertragungsfunktion die Laplacetransformierte der Impulsantwort darstellt, kann sie ebenso durch Laplacetransformation der zeitlichen Ableitung der Sprungantwort ermittelt werden:
Umgekehrt folgt daraus: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{G(s)}{s}\right\} }
In der Praxis lassen sich Sprungsignale wesentlich genauer erzeugen als Dirac-Impulse (welche das Eingangssignal für die Impulsantwort sind). Durch die oben stehende Beziehung lässt sich außerdem aus der Sprungantwort leicht die Übertragungsfunktion des Systems ermitteln. Somit ist die Sprungantwort eine wichtige Kenngröße des Systemverhaltens und zur Beschreibung von Systemen von hoher Relevanz.
Beispiel
Die Sprungfunktion eignet sich für ein System als Testsignal. Wenn am Eingang einer elektronischen Schaltung eine Sprungfunktion mit der Höhe 2 V angelegt wird, dann kann man am Ausgang des Übertragungsgliedes ebenfalls eine Veränderung der Spannung feststellen. Den zeitlichen Verlauf dieser Spannung nennt man Sprungantwort, es ist also die Antwort des Systems auf die angelegte Sprungfunktion. Auf dem Bild sieht man, wie das Ausgangssignal sich langsam dem Wert am Eingang annähert. Wenn die Sprungantwort so aussieht wie auf dem Bild, lässt sich auf ein System mit einem Speicher schließen. Der Speicher ist in diesem Fall ein Kondensator. Dieser wird durch die 2 V am Eingang über den Widerstand geladen, bis die Eingangsspannung erreicht ist. Das System verhält sich wie ein PT1-Glied.
Siehe auch
Literatur
- R. Parthier: Messtechnik – Grundlagen und Anwendungen der elektrischen Messtechnik für alle technischen Fachrichtungen und Wirtschaftsingenieure (4. Auflage – vieweg Verlag), ISBN 978-3-8348-0336-8
