Reduktion (Elliptische Kurve)

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In der Mathematik sind „gute“, „semistabile“ und „instabile“ Reduktion elliptischer Kurven vor allem in der arithmetischen Geometrie von Bedeutung. In der Elliptische-Kurven-Kryptographie dürfen nur elliptische Kurven guter Reduktion verwendet werden, weil andernfalls der diskrete Logarithmus leicht zu berechnen und damit das Verschlüsselungssystem leicht zu knacken ist.

Sei eine elliptische Kurve über mit minimalem Modell

.

Für eine Primzahl sei die Reduktion modulo .

Man sagt, dass gute Reduktion in hat, wenn eine elliptische Kurve ist, also keine Singularitäten hat. Es gibt nur endlich viele Primzahlen, in denen eine gegebene elliptische Kurve schlechte Reduktion hat.

Im Fall schlechter Reduktion unterscheidet man nach dem Typ der Singularitäten. Sei eine Singularität mit . Dann haben wir eine Taylor-Entwicklung

mit . Wenn , dann ist die Singularität ein Doppelpunkt und man sagt, dass in semistabile Reduktion hat. Diese heißt spaltend, wenn sind. Wenn , dann ist die Singularität eine Spitze und man sagt, dass in instabile Reduktion hat.

Satz über semistabile Reduktion: Sei eine elliptische Kurve über und eine Primzahl. Dann gibt es eine endliche Körpererweiterung und eine Fortsetzung der p-adischen Bewertung auf , so dass modulo dieser Bewertung gute oder semistabile Reduktion hat.

Literatur

  • Dale Husemöller: Elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111. With an appendix by Ruth Lawrence. Springer-Verlag, 1987. ISBN 0-387-96371-5