Reflektive Unterkategorie

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Eine reflektive Unterkategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Unterkategorie mit einer zusätzlichen Eigenschaft. Die Objekte der Unterkategorie entstehen aus den Objekten der Oberkategorie durch einen funktoriellen Prozess, den man sich als eine Art der Vervollständigung vorstellen kann.

Definition

Es sei eine Unterkategorie von . heißt reflektiv (in ), wenn der Inklusionsfunktor rechtsadjungiert ist. Ein zu linksadjungierter Funktor heißt Reflektor.

Dual dazu nennt man eine Unterkategorie von koreflektiv (in ), wenn der Inklusionsfunktor linksadjungiert ist. Ein zu rechtssadjungierter Funktor heißt Koreflektor.[1][2][3]

Beispiele

  • Sei die Kategorie der Integritätsringe mit den injektiven, einserhaltenden Ringhomomorphismen. Dann ist die Unterkategorie der Körper eine reflektive Unterkategorie von . Ein Reflektor ist der Funktor , der jedem Integritätsring seinen Quotientenkörper (als Menge von Äquivalenzklassen von Paaren des Ringes) zuordnet.[4] In diesem Beispiel vervollständigt der Reflektor den Integritätsring um die fehlenden Inversen zu einem Körper.
  • Gegenbeispiel: Der algebraische Abschluss eines Körpers ist kein Reflektor, genauer: Die Unterkategorie der algebraisch abgeschlossenen Körper ist nicht reflektiv in der Kategorie der Körper.[7]
  • Die Kategorie der abelschen Torsionsgruppen ist koreflektiv (aber nicht reflektiv) in der Kategorie der abelschen Gruppen. Die Bildung der Torsionsuntergruppe ist ein Koreflektor.[8]
  • Die Kategorie der lokal zusammenhängenden Räume ist eine koreflektive Unterkategorie der Kategorie aller topologischen Räume. Ein Koreflektor ist der Übergang zur gröbsten lokal zusammenhängenden Topologie, die feiner als die gegebene ist.

Eigenschaften

  • Reflektoren bzw. Koreflektoren sind bis auf natürliche Isomorphie eindeutig bestimmt. Das liegt einfach daran, dass die Links- bzw. Rechtsadjungierte eines Funktors, wenn sie existiert, bis auf natürliche Isomorphie eindeutig bestimmt ist.
  • Um Reflektoren als Vervollständigungen verstehen zu können, sollte die Vervollständigung, das heißt die Anwendung des Reflektors, auf ein Objekt der reflektiven Unterkategorie nichts Neues bringen. Mit der Zusatzvoraussetzung, dass die Unterkategorie voll ist, das heißt, dass der Inklusionsfunktor ein voller Funktor ist, gilt das tatsächlich:[9]
Es sei eine volle und reflektive Unterkategorie von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}} mit Reflektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R\colon \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}} . Dann ist die Einschränkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} natürlich isomorph zum identischen Funktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{id}_{\mathcal{D}}} .
Auf die Voraussetzung der Vollheit kann hier nicht verzichtet werden.[10] Daher ist etwa im Lehrbuch von M. Brandenburg[11] die Vollheit bereits in die Definition der reflektiven Unterkategorie eingebaut.
  • Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} eine volle und reflektive Unterkategorie von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}} und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}} kovollständig, so ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} kovollständig.[12]
Dual gilt: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} eine volle und koreflektive Unterkategorie von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}} und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}} vollständig, so ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} vollständig.
Da die Kategorie der topologischen Räume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{T}} kovollständig ist und die Kategorie der kompakten Hausdorffräume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}} nach obigem Beispiel voll und reflektiv in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{T}} ist, ist wegen dieser Eigenschaft auch die Kategorie der kompakten Hausdorffräume kovollständig. Man beachte aber, dass ein in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{T}} gebildeter Kolimes (etwa ein Koprodukt) von kompakten Hausdorffräumen im Allgemeinen nicht mit dem in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}} gebildeten übereinstimmt.

Einzelnachweise

  1. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Kapitel X: Reflective Subcategories, Definition 36.1 (2)
  2. ↑ Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren, Teubner-Verlag 1969, Kapitel 2.4: Reflexive Unterkategorien [sic]
  3. ↑ Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Springer-Verlag 1997, ISBN 0-387-98403-8, Kapitel IV.3: Reflective Subcategories
  4. ↑ Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 7.6.5
  5. ↑ Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 7.6.8
  6. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Kapitel X, Beispiel 36.2 (3)
  7. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Kapitel X, Beispiel 36.2 (2)
  8. ↑ Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 7.6.3
  9. ↑ Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren, Teubner-Verlag 1969, Lemma in Kapitel 2.4
  10. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Kapitel X, Paragraph 36
  11. ↑ Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Kapitel 7.6: Reflektive Unterkategorien
  12. ↑ Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Satz 7.6.7
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