Reguläre Folge

Reguläre Folgen spielen in kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie eine Rolle. Sie werden benötigt, um die Tiefe eines Moduls und Cohen-Macaulay-Ringe zu definieren und um Aussagen über vollständige Durchschnitte zu machen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definitionen

Reguläre Folge

Wenn $M$ ein noetherscher Modul über einem Ring $R$ ist, so wird ein Element $a\in R$ $M$-regulär genannt, wenn aus $a\cdot x=0$ für ein $x\in M$ stets $x=0$ folgt.

Eine Folge $(a_{1},\dotsc ,a_{n})$ von Elementen aus $R$ heißt $M$-reguläre Folge, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• $M\neq (a_{1},\dotsc ,a_{n})M$
• Für $i<n$ ist das Bild von $a_{i+1}$ kein Nullteiler in $M/(a_{1},\dotsc ,a_{i})M$

Der Zusatz „$M$-“ wird weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, welcher Modul gemeint ist.

Der Spezialfall, wenn $R$ ein lokaler Ring ist und der Modul $R$ selbst ist, ist am wichtigsten. In diesem Fall liegen alle Folgenglieder im maximalen Ideal.

Reguläres Parametersystem

Ist $R$ lokal und $m$ das maximale Ideal, dann wird ein minimales Erzeugendensystem von $m$ ein reguläres Parametersystem genannt.

Eigenschaften

• Eine maximale $M$-reguläre Folge ist endlich und alle maximalen $M$-regulären Folgen haben dieselbe Länge.
• Ist $M\neq 0$ ein endlicher Modul über einem noetherschen lokalen Ring und ist $(a_{1},\dots ,a_{n})$ eine reguläre Folge, so ist:

$\mathrm {dim} (M/(a_{1}M+\dots a_{n}M))=\mathrm {dim} (M)-n$

($\mathrm {dim} (M)$ ist die Dimension von $M$.)

• Für einen regulären Ring lokalen $R$ mit maximalem Ideal $m$ und $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}\subset R$ ist äquivalent:

$(a_{1},\dots ,a_{n})$ ist Teil eines regulären Parametersystems

$\{{\bar {a}}_{1},\dots ,{\bar {a}}_{n}\}$ (modulo $(m^{2})$) ist eine linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums $m/m^{2}$ über dem Körper $R/m$.

Insbesondere ist ein minimales Erzeugendensystem von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} eine reguläre Folge.

• Ist umgekehrt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} , das von einer regulären Folge der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} erzeugt wird, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} regulär und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{dim}(R) = n} .

• Allgemein: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} ein noetherscher lokaler Ring und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_1, \dots ,a_n)} eine reguläre Folge, dann ist jede Permutation der Folge regulär. (Das gilt nicht für beliebige noethersche Ringe.)

Beispiele

• Im Polynomring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R=K[X_1, \dots ,X_n]} über einem Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ist jede Folge der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Variablen eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} -reguläre Folge.
• Der lokale Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K[X_1,X_2,X_3,X_4]/((X_1,X_2)(X_3,X_4))_{(\bar X_1,\bar X_2,\bar X_3,\bar X_4)}} Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} entspricht geometrisch dem Schnittpunkt zweier affinen Flächen im vierdimensionalen Raum. Der Ring ist zweidimensional, aber reguläre Folgen haben die Länge 1, da der Ring modulo einem Nichtnullteiler, der keine Einheit ist, nur Nullteiler und Einheiten enthält. Insbesondere ist dieser Ring kein Cohen-Macaulay-Ring.

Literatur

• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9