Rektifizierbare Menge

Die Rektifizierbare Menge ist ein zentraler Begriff aus der geometrischen Maßtheorie. Eine solche Menge hat stückweise glatte Eigenschaften und teilt somit fast überall Eigenschaften einer differenzierbarer Mannigfaltigkeit. Insbesondere sind diese Mengen von Bedeutung, weil sie einen approximativen Tangentialraum induzieren.

Definition

Sei $m\in \mathbb {N}$ mit $1\leq m\leq n$. Eine Menge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt abzählbar $m$-rektifizierbar, falls Folgendes gilt:

1. $S\subseteq S_{0}\cup \left(\bigcup \limits _{j=1}^{\infty }F_{j}(\mathbb {R} ^{m})\right)$
2. ${\mathcal {H}}^{m}(S_{0})=0$
3. $F_{j}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ sind Lipschitz-Funktionen für $j=1,2,\dots$,

wobei ${\mathcal {H}}^{m}$ das $m$-dimensionale Hausdorff-Maß auf $\mathbb {R} ^{m}$ bezeichnet.

Erläuterungen

Da sich eine Lipschitz-Funktion $f:S_{j}\to \mathbb {R} ^{n}$ zu $F:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ erweitern lässt, wobei die neue Lipschitz-Konstante $C_{F}=rC_{f}$ für eine Konstante $r$, lässt sich der Begriff auch mit folgenden gleichwertigen Bedingungen formulieren: für $S_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ gilt

1. $S=S_{0}\cup \left(\bigcup \limits _{j=1}^{\infty }F_{j}(S_{j})\right)$
2. ${\mathcal {H}}^{m}(S_{0})=0$
3. $F_{j}:S_{j}\to \mathbb {R} ^{n}$ sind Lipschitz-Funktionen für $j=1,2,\dots$

Approximativer Tangentialraum

Sei $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, von Hausdorff-Dimension $M$ und ${\mathcal {H}}^{m}$-messbar mit ${\mathcal {H}}^{m}(S\cap K)<\infty$ für jede kompakte Menge $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Dann nennt man den $m$-dimensionalen linearen Unterraum $L$ von $\mathbb {R} ^{n}$ den ${\mathcal {H}}^{m}$-approximativen Tangentialraum von $S$ in $x\in \mathbb {R} ^{n}$ falls

$\lim \limits _{\lambda \to 0^{+}}\int _{\lambda ^{-1}(S-x)}f(y)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(y)=\int _{L}f(y)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(y)$

für $f\in C_{c}(\mathbb {R} ^{n})$. Dieser existiert genau dann ${\mathcal {H}}^{m}$-fast überall für jedes $x\in S$, wenn $S$ abzählbar $m$-rektifizierbar ist.

Erläuterungen

Wenn $y\in \lambda ^{-1}(S-x)$ dann $\lambda y+x\in S$.