Riemannsche Holonomie

Paralleltransport entlang einer geschlossenen Kurve auf der Sphäre

Der mathematische Begriff der Riemannschen Holonomiegruppe oder Riemannschen Holonomie bezeichnet in der Differentialgeometrie die Gruppe linearer Transformationen, die durch den Paralleltransport von Vektoren entlang geschlossener Kurven induziert wird.

Definition

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Levi-Civita-Zusammenhang definiert den Paralleltransport auf $M$. Für jede geschlossene Kurve

$\gamma \colon \left[0,1\right]\to M$

mit $\gamma (0)=\gamma _{1}=x_{0}$ definiert der Paralleltransport eine lineare Abbildung

$H_{\gamma }\colon T_{x_{0}}M\to T_{x_{0}}M$.

Als (Riemannsche) Holonomiegruppe $Hol(M,g)$ von $(M,g)$ bezeichnet man die Gruppe aller invertierbaren linearen Abbildungen

$A\in GL(T_{x_{0}}M)$,

für die es eine geschlossene Kurve $\gamma$ mit $A=H_{\gamma }$ gibt. Wegen

$H_{\gamma _{1}*\gamma _{2}}=H_{\gamma _{2}}\circ H_{\gamma _{1}}$ und $H_{c_{x_{0}}}=Id$

ist $Hol(M,g)$ tatsächlich eine Gruppe.

Zerlegbarkeit von Holonomiedarstellungen

Zerlegungssatz von de Rham: Die Holonomiedarstellung einer einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit ist genau dann reduzibel, wenn die Metrik lokal ein Produkt ist. Falls die Mannigfaltigkeit geodätisch vollständig ist, muss die Metrik sogar global eine Produktmetrik sein.

Klassifikation irreduzibler Holonomiedarstellungen

Berger-Liste: Die Holonomiegruppe einer einfach zusammenhängenden, irreduziblen, nicht-symmetrischen Riemannschen $n$-Mannigfaltigkeit ist eine der folgenden:

• $SO(n)$
• $U(m)$ mit $n=2m,m\geq 2$ (Kählermannigfaltigkeiten)
• $SU(m)$ mit $n=2m,m\geq 2$ (Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten)
• $Sp(m)$ mit $n=4m,m\geq 2$ (Hyperkählermannigfaltigkeiten)
• $Sp(m)Sp(1)$ mit $n=4m,m\geq 2$
• $G_{2}$ mit $n=7$
• $Spin(7)$ mit $n=8$

Bergers Liste der möglichen Holonomiegruppen enthielt ursprünglich noch $Spin(9)$ mit $n=16$, diese Möglichkeit konnte 1968 von Alexeevsky ausgeschlossen werden.

Die Holonomiegruppen symmetrischer Räume waren bereits von Cartan klassifiziert worden. Für einen einfach zusammenhängenden, irreduziblen symmetrischen Raum $G/H$ ist die Holonomiegruppe isomorph zu $H$.

Spezielle Holonomie: Als Mannigfaltigkeiten spezieller Holonomie bezeichnet man Riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren Holonomiegruppe eine echte Untergruppe von $SO(n)$ ist, also die Fälle 2-7 in Bergers Liste sowie Produkte, in denen mindestens einer der Faktoren in einen der Fälle 2-7 fällt.

Literatur

• G. de Rham: Sur la réductibilité d’un espace de Riemann, Comm. Math. Helv. 26 (1952), 328–344.
• M. Berger: Sur les groupes d'holonomie homogène des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes, Bull. Soc. Math. France 83 (1955), 279–330.

Weblinks

• J. Gross: What is ... Riemannian holonomy?, Notices of the AMS 65 (2018), 795–796.