Riesz-Raum

Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert und trägt deshalb heute seinen Namen.

Definition

Sei $(X,+,\cdot )$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum und $(X,\leq )$ eine halbgeordnete Menge.

Dann heißt $(X,+,\cdot ,\leq )$ ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

1. Für alle $f,g,h\in X$ gilt: $f\leq g\Rightarrow f+h\leq g+h$.
2. Für alle $f,g\in X$ gilt: $0\leq a\in \mathbb {R}$ und $f\leq g\Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g$.
3. $(X,\leq )$ ist ein Verband.

Anmerkungen

• 1. und 2. bedeuten $(X,+,\cdot ,\leq )$ ist ein geordneter Vektorraum.
• Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass $\leq$ sich sowohl auf $\mathbb {R}$, als auch auf $X$ bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
• 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung $0\leq a$ und $\mathbf {0} \leq f\Rightarrow \mathbf {0} \leq a\cdot f$ ersetzen.
• Bezeichnen $\land ,\lor$ die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass $\land ,\lor$ stärker binden, als $+,\cdot$ (Klammerregel).

Erste Eigenschaften

Für $f,g,h\in X$ und $0\leq a\in \mathbb {R}$ gelten folgende Rechenregeln:

• $(f+h)\lor (g+h)=(f\lor g)+h$ und $(f+h)\land (g+h)=(f\land g)+h$
• $(af)\lor (ag)=a(f\lor g)$ und $(af)\land (ag)=a(f\land g)$
• $(-f)\lor (-g)=-(f\land g)$ und $(-f)\land (-g)=-(f\lor g)$
• Sei $|f|:=f\lor (-f)$ für $f\in X$.

Dann gilt $f\lor g={\tfrac {1}{2}}(f+g+|f-g|)$ und $f\land g={\tfrac {1}{2}}(f+g-|f-g|)$.

• $(f\lor g)+(f\land g)=f+g$ und $(f\lor g)-(f\land g)=|f-g|$
• $(f\lor g)\land h=(f\land h)\lor (g\land h)$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f\land g)\lor h = (f\lor h) \land (g \lor h)}

Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.

Beispiele

• Die reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} mit der üblichen Anordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \leq} bilden einen Riesz-Raum.
• Der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der reellen Zahlenfolgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^\N} mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der reellen Nullfolgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_0} mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\leq p \le \infty} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_p} mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
• Die Menge der beschränkten reellen Folgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_\infty} mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der stetigen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}[a,b]} auf einem Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a,b]} bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
• Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}^1[a,b]} auf einem Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a,b] } bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Integrationstheorie

Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodým und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

Literatur

• Luxemburg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264
• V. I. Sobolev: Riesz space. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).