Rotationshyperboloid

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Rotationshyperboloid

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Mae West mit Tram

Das einschalige Rotationshyperboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung, die man sich durch Rotation einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Gerade (Achse) entstanden vorstellen kann. Es ist ein Spezialfall des einschaligen Hyperboloids. Seine gaußsche Krümmung ist in jedem Punkt negativ; es handelt sich also um eine antiklastisch gekrümmte Fläche.

Man beachte: Es gibt auch ein zweischaliges Rotationshyperboloid (siehe Hyperboloid).

Anwendung

Die Form des Rotationshyperboloids wird unter anderem im Bauwesen bei Hyperboloidkonstruktionen angewendet. Den ersten Turm der Welt in dieser Form baute Wladimir Schuchow für die Allrussische Industrie- und Handwerksausstellung 1896.

Der Architekt Antoni Gaudí verwendete die Form als gestalterisches Konstruktionsprinzip. Auch das Kunstwerk Mae West in München ist ein 52 Meter hoher Rotationshyperboloid aus CFK.

Gleichung

Die Gleichung für das einschalige Rotationshyperboloid mit kreisförmigem Querschnitt ergibt sich aus der Gleichung

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

eines einschaligen Hyperboloids mit allgemein elliptischem Querschnitt durch Setzen von $\ a=b=r\$:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ .}

Ein Schnitt mit einer horizontalen Ebene $z=z_{0}$ ist immer ein Kreis. Der kleinste Kreis ergibt sich für $z=0$. Er hat den Radius $r$. Dieses Hyperboloid lässt sich durch Rotation der Hyperbel in der x-z-Ebene mit der Gleichung ${\tfrac {x^{2}}{r^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\$ um die z-Achse erzeugen.

Nachfolgend ist diese Parametrisierung angegeben, wobei der Parameter $\varphi$ dem Azimut-Winkel entspricht, welcher z. B. auch bei Kugel- oder Zylinderkoordinaten Verwendung findet.

${\vec {x}}(\varphi ,\beta )={\begin{pmatrix}r\cos \varphi \cosh \beta \\r\sin \varphi \cosh \beta \\c\sinh \beta \end{pmatrix}}\;,\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi \;,\;-\infty <\beta <\infty$

Erzeugung eines einschaligen Rotationshyperboloids durch Rotation einer Gerade (rot)

Eine für die Anwendung geeignetere Erzeugung lässt eine zur z-Achse windschiefe Gerade (Stange) um die z-Achse rotieren:

Die Gerade mit der Parametergleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}(u) = \begin{pmatrix} r\\0\\0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0\\ \cos(\gamma)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix}}

ist parallel zur y-z-Ebene, hat den Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} zur z-Achse und den Steigungswinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} gegenüber der x-y-Ebene (siehe Bild).

Lässt man diese Gerade um die z-Achse rotieren, erhält man eine Fläche mit der Parametergleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}(u,v) = \begin{pmatrix} r \cos(v)\\ r \sin(v)\\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} - \cos(\gamma) \sin (v)\\ \cos(\gamma) \cos(v)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} } .

Man rechnet nach, dass im Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;0<\gamma < \pi/2 \;} die Koordinaten der Flächenpunkte die obige Gleichung eines Rotationshyperboloids mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \; c=r \tan\gamma\; } erfüllt. Außerdem erkennt man: die Gerade mit dem Steigungswinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\gamma} erzeugt dasselbe Hyperboloid (s. Bild). Durch jeden Punkt des Hyperboloids gehen also zwei Geraden (Stangen), was die Stabilität eines Modells erheblich steigert.
(Im Fall Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \gamma =0} liegt die Gerade in der x-y-Ebene und überstreicht das Äußere des Kreises mit der Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+y^2=r^2} . Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma=\pi/2} ist, entsteht ein Zylinder mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} .)

Literatur

• Rotationshyperboloid. In: Klaus-Jürgen Schneider, Rüdiger Wormuth (Hrsg.): Baulexikon. Erläuterung wichtiger Begriffe des Bauwesens. 2., erweiterte Auflage. Bauwerk u. a., Berlin 2009, ISBN 978-3-89932-159-3.