Sagitta-Methode

Herleitung der Sagitta-Methode

Die Sagitta-Methode ermöglicht es, einen Kreisradius mithilfe eines Kreisausschnittes zu bestimmen. Das ist immer dann sinnvoll, wenn nicht das ganze Abbild eines Kreises zur Verfügung steht.

Bei der Sagitta-Methode werden zwei Punkte ($A$ und $B$) einer Kreislinie $k$ markiert und die Länge $l$ der entstehenden Kreissehne ${\overline {AB}}$ bestimmt. Anschließend wird am Mittelpunkt $L$ der Sehne eine Senkrechte eingezeichnet und die Höhe $h$ des Kreissegments bestimmt. Der unbekannte Radius $r,$ von Punkt $A$ bis $M,$ bildet mit der Differenz $r-h$ und $l/2$ ein rechtwinkliges Dreieck. Über den Satz des Pythagoras wird $r$ aus den Messungen berechenbar:

$\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+(r-h)^{2}=r^{2}.$

Die Umformung

$r^{2}={\frac {l^{2}}{4}}+r^{2}-2rh+h^{2}$

und das Erweitern mit $-r^{2}$ und $+2rh$

$2rh={\frac {l^{2}}{4}}+h^{2},$

liefert nach nochmaligem Umformen:

$r={\frac {l^{2}}{8h}}+{\frac {h}{2}}.$

Historisch wurde die Höhe $h$ des Kreissegments als Sagitta und der Abstand $r-h$ der Sehne zum Kreismittelpunkt, als Apothema bezeichnet.

Anwendungen

• Experimentalphysik (Kerne und Teilchen)
• Messungen und Simulationen für eine Zeit-Projektionskammer mit GEM-Technologie