Satz des Archimedes über Kugel und Kreiszylinder

Der Satz des Archimedes über Kugel und Kreiszylinder ist ein Theorem der Stereometrie, eines Teilgebiets der Geometrie. Er geht zurück auf Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) und dessen Werk Über Kugel und Zylinder (Originaltitel περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου, latinisiert De Sphaera et Cylindro). Mit ihm bestimmt Archimedes als erster und mit Hilfe von Methoden, welche als Vorläufer der Methoden der modernen Integralrechnung gelten, den exakten Zusammenhang zwischen Volumen und Oberfläche von Kugel und Kreiszylinder. Der Satz gilt daher als eines der großen Resultate der Mathematik.

Formulierung

Das Verhältnis des Volumens eines eine Kugel vom Radius r umschreibenden Zylinders ($V_{Z}$) zum Volumen der Kugel ($V_{K}$) mit Radius $r$ selbst, beträgt $V_{Z}:V_{K}=2\cdot {\frac {3}{4}}\;\Rightarrow V_{Z}:V_{K}=3:2$

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Für eine Kugel und einen Kreiszylinder, dessen Grundfläche einem größten Kugelkreis der Kugel und dessen Höhe dem Kugeldurchmesser entspricht, stehen die Flächeninhalte der Oberflächen $O$ und die Volumina $V$ beider Körper jeweils in demselben Verhältnis und dabei gilt:

$O_{\text{Kreiszylinder}}:O_{\text{Kugel}}=V_{\text{Kreiszylinder}}:V_{\text{Kugel}}=3:2$

Herleitung

Archimedes stellt in Buch I von Über Kugel und Zylinder den obigen Satz als Korollar zu zwei Sätzen vor, welche er zuvor als Proposition 33 und 34 formuliert hat und die folgendes besagen:

Proposition 33:

Für eine Kugel ist der Flächeninhalt der Kugeloberfläche viermal so groß wie der Flächeninhalt eines größten Kugelkreises.

Proposition 34:

Für eine Kugel ist das Volumen viermal so groß wie das Volumen eines Kreiskegels, dessen Grundfläche einem größten Kugelkreis und dessen Höhe dem Kugelradius entspricht.

Verwandter Satz

Aus dem Satz des Archimedes über Kugel und Kreiszylinder ergibt sich der folgende Satz, welcher manchmal auch als Satz des Archimedes bezeichnet wird:

Das Volumen einer Halbkugel ist gleich der Differenz der Volumina des umgebenden Kreiszylinders und des darin enthaltenen Kreiskegels gleicher Höhe und gleicher Grundfläche.

Literatur

• Archimedes: Werke. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Arthur Czwalina. Im Anhang: Kreismessung / Übersetzt von F. Rudio - Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen / Übersetzt von J. L. Heiberg und kommentiert von H. G. Zeuthen. 3., unveränderter reprografischer Nachdruck. 3. Auflage. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1972, ISBN 3-534-02029-4. 
• E. J. Dijksterhuis: Archimedes (translated by C. Dikshoorn). Princeton University Press, Princeton NJ 1987, ISBN 0-691-08421-1. 
• Howard Eves: Great Moments in Mathematics (Before 1650) (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 5). The Mathematical Association of America, Washington 1980, ISBN 0-88385-305-1. 
• H. Fenkner: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. 12. Auflage. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926. 
• Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0.