Satz vom Dreizack

Satz vom Dreizack:
Die drei roten Strecken sind gleich lang:
$|DA|=|DI|=|DC|$.

Der Satz vom Dreizack (nach den russischen Bezeichnungen лемма о трезубце (wörtlich: Satz über das Dreizack) und теорема трилистника (wörtlich: Satz vom Trillium)) ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschreibt.

In einem Dreieck $ABC$ sei $I$ der Mittelpunkt seines Inkreises und $D$ der Schnittpunkt von $BI$ (Winkelhalbierende in $B$) mit seinem Umkreis, dann gelten die folgenden äquivalenten Aussagen:

• Die Strecken $DA$, $DI$ und $DC$ sind gleich lang, das heißt $|DA|=|DI|=|DC|$.
• $A,I,C$ liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt $D$ ist. Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch $A,I$ und $C$ auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Incenter-Excenter Circle. In: MathWorld (englisch).
• A Property of Circle Through the Incenter auf cut-the-knot.org
• Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters auf cut-the-knot.org