Satz vom Gnomon

Datei:Gnomon theorem.svg

Gnomon: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABFPGD}
Satz vom Gnomon: grüne Fläche = rote Fläche,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |AHGD|=|ABFI|,\, |HBFP|=|IPGD| }

Der Satz vom Gnomon oder auch Satz von den Ergänzungsparallelogrammen ist eine Aussage über Parallelogramme und beschreibt die Flächengleichheit zweier Parallelogramme eines Gnomons.

Aussage

In einem Parallelogram Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABCD} mit einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf der Diagonale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AC} schneidet die Parallele zu $AD$ durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} die Seite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle CD} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und die Seite $AB$ in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} und die Parallele zur Seite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AB} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} schneidet die Seite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AD} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} und die Seite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle BC} in $F$ Der Satz vom Gnomon besagt dann, dass die Parallelogramme Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle HBFP} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle IPGD} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABFI} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AHGD} flächengleich sind.

Die von den beiden sich überschneidenden Parallelogrammen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABFI} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AHGD} gebildete L-förmige Figur wird als Gnomon bezeichnet. Die Parallelogramme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle HBFP} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle IPGD} nennt man Ergänzungsparallelogramme oder Komplemente (zu den inneren Parallelogrammen an der Diagonalen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PFCG} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AHPI} ).

Herleitung

Der Satz von Gnomon lässt sich recht einfach beweisen, wenn man die Flächen des Ausgangsparallelogramms und der Parallelogramme an der Diagonale betrachtet. Zum einen entspricht deren Differenz genau der gemeinsamen Fläche der beiden Ergänzungsparallelogramme und zum anderen werden sie alle von der Diagonale halbiert und damit gilt:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|}

Anwendungen und Erweiterungen

Geometrische Konstruktion einer Division

Datei:Gnomon streckenteilung.svg

Übertragung des Teilungsverhältnisses der Strecke AB auf die Strecke HG: ${\tfrac {|AH|}{|HB|}}={\tfrac {|HP|}{|PG|}}$

Der Satz vom Gnomon kann verwendet werden, um zu einem gegebenen Rechteck oder Parallelogramm ein neues flächengleiches Rechteck beziehungsweise Parallelogram zu konstruieren (im Sinne von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal). Dies ermöglicht zudem auch die geometrische Konstruktion beziehungsweise Darstellung der Division zweier Zahlen, das heißt, zu zwei als Streckenlängen gegebenen Zahlen konstruiert man eine neue Strecke, deren Länge dem Quotienten der beiden Zahlen entspricht (siehe Zeichnung). Eine weitere Anwendung ist die Übertragung eines Teilungsverhältnisses von einer Strecke auf eine andere (siehe Zeichnung).

Datei:Gnomon3d 1.png

Das untere die Diagonale umschließende Parallelepiped $\mathbb {A}$ und seine Komplemente Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {B} } , $\mathbb {C}$ und $\mathbb {D}$, die den gleichen Rauminhalt besitzen: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |\mathbb {B} |=|\mathbb {C} |=|\mathbb {D} |}

Eine analoge Aussage zum Satz vom Gnomon lässt sich im Dreidimensionalen für Parallelepipede formulieren. Hierbei ist $P$ ein Punkt auf der Raumdiagonalen des Parallelepipeds und man betrachtet die drei durch $P$ verlaufenden Ebenen, die zu den Außenflächen des Parallelepipeds parallel sind. Diese bilden zusammen mit den Außenflächen eine Aufteilung des Parallelepipeds in acht kleinere Parallelepipede. Zwei von diesen Parallelepipeden umschließen die Raumdiagonale und berühren sich in $P$. An diese Beiden grenzen nun jeweils drei der restlichen sechs Parallepipede, die hier die Rolle der Ergänzungsparallelogramme beziehungsweise Komplemente im Zweidimensionalen spielen. Zu jedem der beiden an der Diagonale liegenden Parallelepipede existieren also drei Komplemente und es gilt nun, dass die Volumina dieser drei Komplemente gleich groß sind.

Allgemeiner Satz über verschachtelte Parallelogramme

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allgemeiner Satz:
grüne Fläche = blaue Fläche - rote Fläche

Der Satz vom Gnomon ist ein Spezialfall einer allgemeiner Aussage über verschachtelter Parallelogramme mit einer gemeinsamen Diagonalen. Zu einen gegebenen Parallelogramm $ABCD$ betrachten man ein beliebiges inneres Parallelogramm Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle AFCE} , das ebenfalls $AC$ als Diagonale besitzt. Weiterhin bildet man die Parallelogramme Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle GFHD} und $IBJF$, deren Seiten alle zu den Seiten des äußeren Parallelogramm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABCD} parallel sind und die mit dem inneren Parallelogramm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AFCE} einen Eckpunkt gemeinsam haben. Die Differenz der Flächen dieser beiden Parallelogramme entspricht dann der Fläche des inneren Parallelogramms, das heißt, es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |AFCE|=|GFHD|-|IBJF| }

Den Satz vom Gnomon erhält man als Grenzfall dieser Aussage, wenn man das zu einer geraden Strecke entartete Parallelogramm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AFCE} betrachtet, dessen Eckpunkte alle auf der Diagonalen $AC$ liegen. Dann liegt insbesondere der gemeinsame Eckpunkt der Parallelogramme $GFHD$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle IBJF} auf der Diagonalen und ihre Flächendifferenz beträgt 0, das heißt, sie sind flächengleich.

Historisches

Der Satz vom Gnomon wird bereits in Euklids Elementen (ca. 300 v. Chr.) beschrieben und spielt dort eine wichtige Rolle bei der Herleitung diverser weiterer Lehrsätze. Der Satz vom Gnomon ist die Proposition 43 im ersten Buch der Elemente. Sie ist dort als Aussage über Parallelogramme formuliert ohne den Begriff Gnomon selbst zu verwenden. Diesen führt Euklid dann später als zweite Definition im zweiten Buch ein. Weitere Aussagen, bei denen das Gnomon und seine Eigenschaften eine wichtige Rolle spielen, sind die Proposition 6 in Buch II, die Proposition 29 in Buch VI und die Propositionen 1, 2, 3 und 4 in Buch XIII.

Literatur

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 190–191
• George W. Evans: Some of Euclid's Algebra. The Mathematics Teacher, Band 20, Nr. 3 (März, 1927), S. 127–141 (JSTOR)
• William J. Hazard: Generalizations of the Theorem of Pythagoras and Euclid's Theorem of the Gnomon. The American Mathematical Monthly, Band 36, Nr. 1 (Jan., 1929), S. 32–34 (JSTOR)
• Paolo Vighi, Igino Aschieri: From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg. In: Vittorio Capecchi (Hrsg.), Massimo Buscema (Hrsg.), Pierluigi Contucci (Hrsg.), Bruno D'Amore (Hrsg.): Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer, 2010, ISBN 9789048185818, S. 601–610, insbesondere S. 303–306

Weblinks

Commons: Gnomons (geometry) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Satz vom Gnomon und Definition des Gnomons in Euklids Elementen (englisch)