Satz von Abel-Ruffini

Der Satz von Abel-Ruffini besagt, dass eine allgemeine Polynomgleichung fünften oder höheren Grades nicht durch Radikale, d. h. Wurzelausdrücke, auflösbar ist.

Geschichte

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Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

Der erste Beweis dieses Satzes wurde von Paolo Ruffini im Jahr 1799 veröffentlicht. Dieser Beweis war jedoch lückenhaft und wurde zudem weitgehend ignoriert. Ein vollständiger Beweis gelang 1824 Niels Henrik Abel.

Tieferen Einblick in das Problem gewährt die wenig später von Évariste Galois entwickelte Galoistheorie. Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie müssen zum Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nur zwei Punkte gezeigt werden:

• Die allgemeine Gleichung fünften Grades (d. h. die Gleichung mit Variablen als Koeffizienten) besitzt als Galoisgruppe die symmetrische Gruppe S₅
• Die symmetrische Gruppe S₅ ist nicht auflösbar, denn sie enthält als einzigen echten Normalteiler die alternierende Gruppe A₅ von der Ordnung 60, und diese ist einfach und nicht von Primzahlordnung.

Literatur

• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Springer Spektrum, 5. Auflage 2013, ISBN 978-3-658-02261-7, doi:10.1007/978-3-658-02262-4.
• Peter Pesic: Abels Beweis. Springer. Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-22285-5, doi:10.1007/978-3-540-27309-7.
• Jean-Pierre Tignol: Galois' Theory of Algebraic Equations. Reprint. World Scientific, Singapore u. a. 2004, ISBN 981-02-4541-6, doi:10.1142/9789812384904.