Satz von Banach-Mackey

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Der Satz von Banach-Mackey (nach Stefan Banach und George Mackey) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er trifft eine Aussage über Beschränktheitseigenschaften gewisser Mengen in lokalkonvexen Räumen.

Banachkugeln

Ist eine absolutkonvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes, so ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \textstyle E_{B}:=\bigcup _{t>0}tB} ein Untervektorraum von , der durch das auf eingeschränkte Minkowski-Funktional zu einem normierten Raum wird. Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum, so nennt man eine Banachkugel.

  • Die Einheitskugel eines normierten Raumes ist genau dann eine Banachkugel, wenn der normierte Raum ein Banachraum ist.
  • Im Folgenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} aller reellen Folgen ist die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} aller Folgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_i)_i} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i=0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i > n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |x_i|\le 1} für eine Banachkugel, denn das Minkowki-Funktional von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_B\cong \R^n} ist gleich der Maximumsnorm.
  • Jede absolutkonvexe, abgeschlossene, beschränkte, folgenvollständige Teilmenge eines lokalkonvexen Raums ist eine Banachkugel, insbesondere sind kompakte, absolutkonvexe Mengen Banachkugeln.[1]
  • Banachkugeln können zu einer Charakterisierung ultrabornologischer Räume herangezogen werden (siehe dort).

Der Satz von Banach-Mackey

Eine Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B\subset E} eines lokalkonvexen Raumes heißt schwach beschränkt, wenn das Bild unter jedem stetigen, linearen Funktional beschränkt ist. heißt stark beschränkt, wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \sup\{|f(x)|;\,x\in B,f\in M\}<\infty } für alle Teilmengen des Dualraums, für die für alle gilt.

Indem man für die Mengen in obiger Definition einelementige Mengen nimmt, sieht man, dass stark-beschränkte Mengen schwach-beschränkt sind. Für die Umkehrung gilt:

  • Satz von Banach-Mackey[2]: Jede schwach-beschränkte Banachkugel in einem lokalkonvexen Raum ist stark-beschränkt.

Anwendungen

  • Der Satz von Mackey kann aus dem Satz von Banach-Mackey hergeleitet werden.[3]
  • Ist in einem quasitonnelierten Raum jede absolutkonvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge eine Banachkugel, so ist dieser Raum bereits tonneliert. Insbesondere sind alle folgenvollständigen, quasitonnelierten Räume bereits tonneliert.[4]

Einzelnachweise

  1. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Corollar 23.14
  2. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.12
  3. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.15
  4. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.20+23.21
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