Satz von Lusin-Denjoy

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Satz von Cantor-Lebesgue)

Der Satz von Lusin-Denjoy ist einer der klassischen Sätze des mathematischen Teilgebiets der Analysis. Er geht auf zwei im Jahre 1912 in ein und derselben Fachzeitschrift nebeneinander veröffentlichte Arbeiten zurück, die von den beiden Mathematikern Nikolai Nikolajewitsch Lusin und Arnaud Denjoy eingereicht wurden. Der Satz behandelt und klärt die wichtige Frage des Konvergenzverhaltens der reellen trigonometrischen Reihen.[1][2]

Formulierung des Lusin-Denjoy'schen Satzes

Er lässt sich folgendermaßen formulieren:[3]

Sei im Körper der reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \subseteq \R} eine Lebesgue-messbare Punktmenge von positivem Lebesgue-Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda(X)} .
Sei weiter
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_k\cos (kx)+b_k\sin (k x)\right) \; (x \in X)}
eine trigonometrische Reihe auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} mit aus reellen Zahlen bestehenden Koeffizientenfolgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( a_k \right)_{k=0,1,2,3, \ldots}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( b_k \right)_{k=1,2,3, \ldots}} .
Dann gilt:
Notwendig und hinreichend für die absolute Konvergenz der Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} ist, dass die beiden zugehörigen Koeffizientenreihen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \sum_{k=1}^{\infty} { a_k }}
und
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B = \sum_{k=1}^{\infty} { b_k }}
beide absolut konvergieren.

Anmerkung zum Beweis

Beim Beweis des Satzes von Lusin-Denjoy liegt, wie der italienische Mathematiker Francesco Giacomo Tricomi in seinen Vorlesungen über Orthogonalreihen hervorhebt, die eigentliche Schwierigkeit und der wesentliche Beweisschritt in dem Nachweis, dass – unter den genannten Voraussetzungen! – aus der absoluten Konvergenz der gegebenen trigonometrischen Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} notwendigerweise schon die absolute Konvergenz der beiden zugehörigen Koeffizientenreihen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} folgt. Bei diesem Beweisschritt ist gemäß Tricomi ein Hilfssatz aus der reellen Maßtheorie bedeutsam, der im Wesentlichen folgendes besagt:[3]

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \subseteq \R} eine Lebesgue-messbare reelle Punktmenge von positivem Lebesgue-Maß und ist auf dieser eine Lebesgue-messbare reelle Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon X \to \R} gegeben, so gibt es zu jeder vorgegebenen positiven reellen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\lambda}^{*} < \lambda(X)} eine Lebesgue-messbare reelle Punktmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^{*} \subseteq X} , die einerseits ein Lebesgue-Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda(X^{*}) > {\lambda}^{*}} hat und für die andererseits die Einschränkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f|_{X^{*}}} eine beschränkte Funktion ist.

Unmittelbare Folgerungen

Mit dem Satz von Lusin-Denjoy gewinnt man unmittelbar die folgenden beiden Korollare:

(I) Wenn unter den genannten Voraussetzungen die trigonometrische Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} auch nur auf irgend einem Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I \subseteq X} von positiver Länge absolut konvergent ist, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} auch schon auf ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} absolut konvergent.[4]
(II) Wenn eine trigonometrische Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} auf einer beliebigen Punktmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \subseteq \R} absolut konvergiert, so konvergiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} auch schon absolut und gleichmäßig auf jedem darin gelegenen Intervall positiver Länge.[5]

Verwandter Satz

Eng verbunden mit dem Lusin-Denjoy'schen Satz ist der Satz von Cantor-Lebesgue, der nach den beiden Mathematikern Georg Cantor und Henri Lebesgue benannt ist. Dieser Satz greift die verwandte Frage auf, inwieweit das Konvergenzverhalten einer trigonometrischen Reihe das Konvergenzverhalten der zugehörigen Koeffizientenfolgen beeinflusst. Er besagt nämlich:[6][7]

Sind die allgemeinen Voraussetzungen des Satzes von Lusin-Denjoy erfüllt und sind hier für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in X} die Partialsummen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} durchweg Nullfolgen, so sind die beiden Koeffizientenfolgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( a_k \right)_{k=0,1,2,3, \ldots}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( b_k \right)_{k=1,2,3, \ldots}} ebenfalls Nullfolgen. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} konvergieren.

Literatur

  • A. Denjoy: Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques. In: Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris. Band 155, 1912, S. 580–582 (online).
  • N. Lusin: Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques. In: Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris. Band 155, 1912, S. 135–136.
  • Francesco Giacomo Tricomi: Vorlesungen über Orthogonalreihen. Übersetzt und zum Druck bearbeitet von Prof. Dr. Friedrich Kasch, München (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 76). 2., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0261250).
  • Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Volumes I and II. Reprinting of the 1968 Version of the Second Edition. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, London, New York, Melbourne 1977, ISBN 0-521-07477-0 (MR0617944).

Einzelnachweise

  1. ↑ Francesco Giacomo Tricomi: Vorlesungen über Orthogonalreihen. 1970, S. 77 ff
  2. ↑ Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Vol. I. 1977, S. 232 ff
  3. ↑ a b Tricomi, op. cit. , S. 77
  4. ↑ Tricomi, op. cit. , S. 79
  5. ↑ Tricomi, op. cit. , S. 80
  6. ↑ Tricomi, op. cit. , S. 105–106
  7. ↑ Zygmund, op. cit. , S. 316
Abgerufen von „https://de.wikiup.org/index.php?title=Satz_von_Lusin-Denjoy&oldid=168399247#Verwandter_Satz“