Nullfolge

In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge (meist von reellen Zahlen), die gegen 0 konvergiert (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten Zahl (nämlich ihrem Grenzwert) und einer Nullfolge dargestellt werden.

Zum Beispiel ist die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2^{-n})_{n\in\N}} eine Nullfolge reeller Zahlen.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{K} \in \{\R,\Complex\}} der Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_n)_{n \in \N} \subset \mathbb{K}} heißt Nullfolge, falls

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0}

gilt. Die Menge aller Nullfolgen bildet den Folgenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_0} , der mit der Supremumsnorm  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \left\|(a_n)_{n \in \N}\right\|_\infty := \sup_{n\in \N}|a_n|}   ein Banachraum wird.

Beispiele

Beispiele für Nullfolgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_n)_{n\in\N}} sind:

• $a_{n}\,=\,0$,

• $a_{n}\,=\,{\frac {1}{n}}$,

• $a_{n}\,=\,{\frac {1}{n^{2}}}$,

• $a_{n}\,=\,(-1)^{n}{\frac {1}{n}}$,

• $a_{n}\,=\,(-0{,}5)^{n}$,

• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle a_{n}\,=\,{\sqrt[{n}]{5}}-1} .

Verallgemeinerung

Sei $(G,+,d)$ eine metrisierbare topologische Gruppe, d. h. eine Gruppe, die mit einer Metrik so ausgestattet ist, dass die Gruppenverknüpfung und die Inversenbildung stetig sind (z. B. die additive Gruppe in einem bewerteten Körper oder normierten Vektorraum).

Eine Folge in $G$ heißt genau dann Nullfolge, wenn sie gegen das neutrale Element konvergiert.

Die Eigenschaft einer Folge, Nullfolge zu sein, hängt natürlich von der Metrik ab: Die oben als Beispiel angegebene Folge $a_{n}=(-0{,}5)^{n}$ ist in $\mathbb {Q}$ eine Nullfolge bezüglich der üblichen Betragsmetrik, jedoch divergiert sie sogar bezüglich des 2-adischen Betrages auf $\mathbb {Q}$.

Eine Folge in einem normierten Vektorraum ist genau dann eine Nullfolge bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik, wenn die Folge der Normen eine Nullfolge in $\mathbb {R}$ ist.

Siehe auch

• Nullfolgenkriterium

Quellen

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Sechste, korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 8

Weblinks

Wiktionary: Nullfolge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Nullfolgen auf www.mathematik.net