Satz von Carleson und Hunt

In der Mathematik ist der Satz von Carleson und Hunt ein Lehrsatz über die punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen. Er ist die Verallgemeinerung des vormals als Vermutung von Lusin bekannten Satzes von Carleson und ist nach Lennart Carleson und Richard Allen Hunt benannt.

Formulierung des Satzes

Satz von Carleson

Sei $f\in L^{2}(S^{1})$ eine quadratisch integrierbare, $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten ${\hat {f}}(n)$. Dann hat man für fast alle $x$ punktweise Konvergenz.

$\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)$.

Satz von Carleson und Hunt

Sei $p>1$ und $f\in L^{p}(S^{1})$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten ${\hat {f}}(n)$. Dann hat man für fast alle $x$ punktweise Konvergenz.

$\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)$.

Die analoge Aussage für $p=1$ ist nicht korrekt, wie ein Gegenbeispiel von Kolmogorow zeigt.

Literatur

• A. N. Kolmogorow: Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout , Fundamenta Mathematicae 4, 324–328, 1923.
• L. Carleson: On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Mathematica 116 (1), 135–157, 1966.
• R. A. Hunt: Über die Konvergenz von Fourier-Reihen, Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues, Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967 , Carbondale, Ill., Southern Illinois Univ. Press, S. 235–255, 1968.

Weblinks

• Luzin problem (Encyclopedia of Mathematics)