Satz von Carnot (Lote)

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Satz von Carnot für Lote auf Dreiecksseiten:
blaue Fläche = rote Fläche

Der Satz von Carnot (nach Lazare Nicolas Marguerite Carnot) liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, ob sich drei Geraden, die auf den drei (verlängerten) Seiten eines Dreiecks senkrecht stehen, in einem Punkt schneiden. Darüber hinaus lässt er sich auch als eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auffassen.

Aussage

Zu einem Dreieck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \triangle ABC} mit Seiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c} seien drei Geraden gegeben, die je auf einer (verlängerten) Dreiecksseite senkrecht stehen und die sich in einem gemeinsamen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} schneiden. Bezeichnet man die Fußpunkte auf den (verlängerten) Dreieckseiten $a,b,c$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_a, P_b, P_a} , dann gilt die folgende Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |AP_c|^2+|BP_a|^2+|CP_b|^2=|BP_c|^2+|CP_a|^2+|AP_b|^2} .

Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes, das heißt: Erfüllen die Fußpunkte dreier Senkrechten die obige Gleichung, so schneiden sich diese in einem gemeinsamen Punkt.

Spezialfälle

Besitzt das Dreieck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \triangle ABC} einen rechten Winkel in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} und liegt der Schnittpunkt $F$ auf einem der beiden Eckpunkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} , so erhält man den Satz des Pythagoras. Liegt zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , dann gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |AP_b|=0} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |AP_c|=0} , Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |CP_{a}|=0} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |CP_b|=b} , Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |BP_{a}|=a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |BP_c|=c} und die obige Gleichung liefert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^2 + b^2 =c^2} .

Sind die drei Geraden die Mittelsenkrechten, so gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |AP_c| = |BP_c|} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |BP_a| = |CP_a|} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |CP_b| = |AP_b|} . Daher besteht obige Gleichung und wir erhalten als Spezialfall den Satz, dass sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Sind die drei Geraden die Verlängerungen der Dreieckshöhen, so laufen die Geraden durch die Eckpunkte. Die Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle CP_c} teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, für die der Satz des Pythagoras die Gleichungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |AP_c|^2+|CP_c|^2 = b^2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |BP_c|^2+|CP_c|^2 = a^2} liefert, und durch Differenzbildung folgt $|AP_{c}|^{2}-|BP_{c}|^{2}=b^{2}-a^{2}$. Genauso bzw. durch gedankliche Drehung des Dreiecks folgen die Beziehungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |BP_a|^2-|CP_a|^2 = c^2-b^2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |CP_b|^2-|AP_b|^2 = a^2-c^2} . Addiert man diese drei Beziehungen, so erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |AP_c|^2-|BP_c|^2 + |BP_a|^2-|CP_a|^2 + |CP_b|^2-|AP_b|^2 = b^2-a^2 + c^2-b^2 + a^2-c^2 = 0} ,

das heißt, es besteht die Gleichung aus obigem Satz. Man erhält also auch den Satz vom Höhenschnittpunkt als Spezialfall des Satzes von Carnot.

Literatur

• Martin Wohlgemuth (Hrsg.): Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger. Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet. Springer, 2010, ISBN, 9783827426079, S. 273–276.
• Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind: Challenging Problems in Geometry. Dover, New York: Dover, 1966, S. 85–86

Weblinks

• Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck – Der Satz von Carnot. Auf: Matroids Matheplanet.