Satz von Cayley

Der Satz von Cayley ist ein nach dem englischen Mathematiker Arthur Cayley benannter Satz aus der Algebra. Er besagt, dass man jede Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe realisieren kann.

Dieses Ergebnis spielte für die Entwicklung der Gruppentheorie im 19. Jahrhundert eine wichtige Rolle, denn es stellt sicher, dass jede abstrakte Gruppe isomorph zu einer konkreten Gruppe von Permutationen ist. Anders gesagt, jede Gruppe lässt sich treu als Permutationsgruppe darstellen. Der Satz von Cayley bildet damit einen Ausgangspunkt der Darstellungstheorie, die eine gegebene Gruppe untersucht, indem sie ihre Darstellungen auf konkreten und gut verstandenen Gruppen nutzt.

Aussage des Satzes

Der Satz von Cayley besagt:

Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Ausführlicher bedeutet das Folgendes:

Sei $(G,*)$ eine Gruppe. Dann existiert eine Menge $M$ und in der symmetrischen Gruppe $\mathrm {Sym} (M)$ eine Untergruppe $U$, so dass $(G,*)$ isomorph zu $(U,\circ )$ ist.

Wenn die gegebene Gruppe $G$ zudem endlich ist, kann man hierzu auch eine endliche Menge $M$ wählen. Genauer gilt: Ist $G$ von Ordnung $n$, dann ist $G$ isomorph zu einer Untergruppe von $S_{n}$.

Anwendungen

Die praktische Bedeutung des Satzes von Cayley besteht darin, jede beliebige Gruppe $G$ als Untergruppe einer konkreten Gruppe darzustellen. Als konkrete Gruppe betrachtet man hier eine symmetrische Gruppe $\mathrm {Sym} (M)$ bestehend aus allen bijektiven Abbildungen einer Menge $M$ in sich. Die Verknüpfung in der symmetrischen Gruppe $\mathrm {Sym} (M)$ ist gegeben durch die Hintereinanderausführung $(f\circ g)(x):=f(g(x))$. Permutationsgruppen sind sehr praktisch in dem Sinne, dass man ihre Elemente (die Permutationen) bequem aufschreiben und leicht mit ihnen rechnen kann. Dies ist insbesondere in der Computeralgebra nützlich.

Auf theoretischer Ebene eröffnet der Satz von Cayley die Möglichkeit, die Theorie der Permutationsgruppen auf jede beliebige Gruppe anzuwenden. Man spricht von einer Permutationsdarstellung der gegebenen Gruppe. Daneben gibt es noch andere Möglichkeiten, Gruppen in spezieller Form darzustellen, zum Beispiel als Matrixgruppe, das heißt als Untergruppe einer linearen Gruppe. Man spricht dann von einer linearen Darstellung, siehe dazu den Artikel Darstellung (Gruppe).

Beweis des Satzes

Vor dem eigentlichen Beweis lohnt es sich, die wesentliche Idee an einem einfachen Beispiel zu illustrieren. Der nachfolgende Beweis formuliert dann die gemachten Beobachtungen nur aus.

Einführendes Beispiel

Betrachten wir zur Illustration die Kleinsche Vierergruppe $(V,*)$, die wir hier durch die Menge $V=\{1,2,3,4\}$ mit folgender Verknüpfungstafel darstellen:

$*$	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	1	4	3
3	3	4	1	2
4	4	3	2	1

In der ersten Zeile sehen wir die Permutation $\tau _{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ und in den folgenden Zeilen die Permutationen $\tau _{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}$, $\tau _{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}$, $\tau _{4}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$. Diese Permutationen sind zueinander verschieden, die Abbildung $T\colon V\to S_{4}$ mit $a\mapsto \tau _{a}$ ist also injektiv. Daraufhin kann man nun direkt nachrechnen, dass $T$ ein Gruppenhomomorphismus ist, also $T(a*b)=T(a)\circ T(b)$ für alle $a,b\in V$ erfüllt. Dies folgt ganz allgemein aus den Gruppenaxiomen, wie wir nun zeigen werden.

Allgemeine Konstruktion

Sei $(G,*)$ eine Gruppe. Als Menge wählen wir $M:=G$. Für jedes Gruppenelement $a\in G$ definieren wir eine Abbildung $\tau _{a}\colon M\to M$ durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_a(x) := a*x} . Diese Abbildung heißt Linksmultiplikation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} .

1. Die Assoziativität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a * (b * x) = (a * b) * x} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b \in G} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in M} ist gleichbedeutend mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_a \circ \tau_b = \tau_{a * b}} .
2. Die Tatsache, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e \in G} neutrales Element ist, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e * x = x} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in M} erfüllt, ist gleichbedeutend mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_e = \mathrm{id}_M} .
3. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b \in G} zueinander inverse Elemente, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a * b = e} , dann folgt daraus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_a \circ \tau_b = \tau_{a * b} = \tau_e = \mathrm{id}_M} .

Da in einer Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} alle Elemente invertierbar sind, ist demnach jede der Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_a} bijektiv. Wir erhalten also einen Gruppenhomomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \colon G \to \mathrm{Sym}(M)} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T(a) = \tau_a} . Dieser Homomorphismus ist injektiv: falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_a = \tau_b} , dann gilt insbesondere Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_a(e) = \tau_b(e)} und daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = a*e = b*e = b} . Damit ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} ein Isomorphismus zwischen der Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und der Untergruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U = \mathrm{Bild}(T) = \{ \tau_a \mid a \in G \} = \{\sigma \in \mathrm{Sym}(M) \mid \forall x \in M : \sigma(x) = \sigma(e)*x\}} .

Bemerkungen

Der obige Beweis beruht auf der Beobachtung, dass die Linksmultiplikation eine Gruppenoperation der Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} auf sich selbst ist, nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \times G \to G} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (g,x) \mapsto g*x} . Er zeigt sodann, dass jede Gruppenoperation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \times M \to M} einen Gruppenhomomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \colon G \to \mathrm{Sym}(M)} induziert. Im speziellen Fall der Linksmultiplikation ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} sogar injektiv und wird die (links)reguläre Darstellung genannt.

Der Beweis lässt sich analog führen, wenn man statt der Linksmultiplikation die Rechtsmultiplikation mit dem Inversen verwendet. Er liefert dann unter Umständen eine andere Untergruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sym}(G)} , die aber ebenfalls isomorph zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ist.

Minimale Permutationsdarstellungen

Anstelle der im obigen Beweis verwendeten Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M=G} kann man oft auch kleinere Mengen finden. Zum Beispiel liefert der Beweis eine Darstellung der alternierenden Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_4} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12} Elementen als Untergruppe der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{12}} , obwohl die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{1,2,3,4\}} als Grundmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ausreichen würde, denn wir haben ja die Inklusion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_4 \hookrightarrow S_4} .

Zu einer gegebenen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} kann man sich daher fragen, ab welchem Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ein injektiver Gruppenhomomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \hookrightarrow S_n} existiert (auch treue Permutationsdarstellung oder Einbettung genannt – siehe zu den in diesem Abschnitt geschilderten Fragen auch den Artikel Permutationsgruppe). Der Satz stellt klar, dass dies für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = |G|} jedenfalls möglich ist. Es ist eine interessante und mitunter schwierige Frage, den minimalen Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m(G)} zu bestimmen, für den dies möglich ist.

Interessanterweise gibt es Gruppen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} , für die die reguläre Darstellung schon minimal ist, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m(G) = |G|} . Für eine solche Gruppe gibt es also Einbettungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \hookrightarrow S_n} nur für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \ge |G|} . Dies gilt zum Beispiel für jede zyklische Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z/p \Z} von Primzahlordnung, denn keine symmetrische Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_k} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k < p} enthält ein Element der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} (Satz von Lagrange). Gleiches gilt für jede zyklische Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z/p^k \Z} , deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist: Keine symmetrische Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_l} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l < p^k} enthält ein Element der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p^k} . (Dies folgt aus der Zerlegung einer Permutation in ein Produkt disjunkter Zykel.) Auch die kleinsche Vierergruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z/2 \Z \times \Z/2 \Z} der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4} lässt sich in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_4} , aber nicht in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_3} einbetten (ebenfalls nach dem Satz von Lagrange). Einen vollständigen Überblick verschafft folgendes Ergebnis:

Für die folgenden Gruppen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ist die reguläre Darstellung bereits minimal, das heißt, es gibt Einbettungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \hookrightarrow S_n} nur für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \ge |G|} :

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z/2 \Z \times\Z/2 \Z} , die kleinsche Vierergruppe.
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z/p^k \Z} , eine zyklische Gruppe, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist.
3. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{2^k}} , eine verallgemeinerte Quaternionengruppe der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^k} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k \ge 3} .

In den Fällen (2) und (3) ist jede Einbettung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \hookrightarrow S_n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=|G|} konjugiert zur regulären Darstellung.

Umgekehrt gilt, wenn für eine endliche Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} die reguläre Darstellung minimal ist, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eine Gruppe aus dieser Liste. Für alle anderen Gruppen lässt sich also der Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = |G|} aus dem Satz von Cayley noch reduzieren.

Geschichte

Der Satz wird allgemein Arthur Cayley zugeschrieben, der die Grundidee bereits 1854 in einem der ersten Artikel der Gruppentheorie formulierte. Allerdings führt William Burnside in seinem Buch über Gruppentheorie den vollständigen Beweis auf Camille Jordan im Jahre 1870 zurück. Eric Nummela argumentiert jedoch, dass die übliche Bezeichnung als Satz von Cayley durchaus korrekt ist: Cayley hatte in seiner Arbeit von 1854 gezeigt, dass die obige Abbildung in die symmetrische Gruppe injektiv ist, auch wenn er nicht explizit gezeigt hat, dass sie ein Gruppenhomomorphismus ist.