Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie.

Aussage

Sei $S$ eine Rotationsfläche und $c:]a,b[\to S$ mit $s\mapsto c(s)$ eine reguläre Kurve auf $S$. Es bezeichne $r(s)$ den Radius des Breitenkreises durch $c(s)$ sowie $\alpha (s)$ den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

• Ist $c$ eine geodätische Linie, so ist die Funktion $r\cos \alpha \,$ längs $c$ konstant.
• Ist $r\cos \alpha \,$ längs $c$ konstant und $c$ kein Breitenkreis, so ist $c$ eine geodätische Linie.

Beweis

Sei $(u,v)\rightarrow (r(v)\cos u,r(v)\sin u,h(v))$ eine Parametrisierung der Fläche $S$, wobei wir o. B. d. A. $v$ als Bogenlänge der erzeugenden Kurve $(r(v),h(v))$ annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

$E(u,v)=(r(v))^{2}$, $F(u,v)=0$, $G(u,v)=1$.

Sei $s\rightarrow {\vec {c}}(s)$ o. B. d. A. nach der Bogenlänge $s$ parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der $u$-Linien (Breitenkreise) und $v$-Linien (Meridiane):

$\kappa _{g,u}=-{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dv}},\qquad \kappa _{g,v}=0.$

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve ${\vec {c}}$ zu

$\kappa _{g}=-{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dv}}\cos \alpha +{\frac {d\alpha }{ds}}.$ (1)

Differenzieren der Funktion $C(s)=r({\vec {c}}(s))\cos \alpha (s)$ liefert:

${\frac {dC}{ds}}={\frac {dr}{dv}}{\frac {dv}{ds}}\cos \alpha -r\sin \alpha \cdot {\frac {d\alpha }{ds}}.$

Mit ${\frac {dv}{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\sqrt {G}}}$ folgt aus (1)

${\frac {dC}{ds}}=-r\sin \alpha \cdot \kappa _{g}$

und damit die Behauptung.

Anwendung in der Landesvermessung

In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien $a$ und $b$ die Halbachsen des Referenzellipsoids und $e^{2}=(a^{2}-b^{2})/a^{2}$ das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite $\phi$ beträgt

$P(\phi )=N(\phi )\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\cos \phi .$

Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von

${\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\cos \phi \sin A$

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite $\beta$ gemäß der Formel $\tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi$ ein, so folgt die Konstanz von

$\cos \beta \sin A.$

Dieser Wert heißt die clairautsche Konstante der geodätischen Linie.

Literatur

• Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Band 3. 3rd edition. Publish or Perish Press, Houston TX 1999, ISBN 0-914098-72-1, S. 214–216.