Satz von Cochran

In der Statistik wird der Satz von Cochran in der Varianzanalyse verwendet. Der Satz geht auf den schottischen Mathematiker William Gemmell Cochran zurück.

Man nimmt an $U_{1},\dots U_{n},$ seien stochastisch unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, und es gilt

$\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}=Q_{1}+\cdots +Q_{k},$

wobei jedes $Q_{i}$ die Summe der Quadrate von Linearkombinationen der $U$s darstellt. Ferner nimmt man an, dass

$r_{1}+\cdots +r_{k}=n,$

wobei $r_{i}$ der Rang von $Q_{i}$ ist. Der Satz von Cochran besagt, dass die $Q_{i}$ unabhängig sind mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit $r_{i}$ Freiheitsgraden.

Der Satz von Cochran ist die Umkehrung des Satzes von Fisher.

Beispiel

Falls $X_{1},\dots X_{n},$ unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ sind, dann gilt

$U_{i}=(X_{i}-\mu )/\sigma \;$

ist standardnormalverteilt für jedes $i$.

Jetzt kann man folgendes schreiben

$\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$

Damit man diese Identität erkennt, muss man auf beiden Seiten mit $\sigma$ multiplizieren und beachten, dass gilt

$\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}+{\overline {X}}-\mu )^{2}$

und erweitert, um zu zeigen

$\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).$

Der dritte Term ist null, weil der Faktor

$\sum _{i=1}^{n}({\overline {X}}-X_{i})=0$

ist, und der zweite Term besteht nur aus $n$ identischen Termen, die zusammengefügt wurden.

Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschließend durch $\sigma ^{2}$, dann erhält man:

$\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=Q_{1}+Q_{2}.$

Jetzt ist der Rang von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_2} gerade gleich 1 (es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen). Der Rang von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_1} ist gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n-1} , und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfüllt.

Der Satz von Cochran besagt dann, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_2} unabhängig sind, mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n-1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} Freiheitsgrad.

Dies zeigt, dass der Mittelwert und die Varianz unabhängig sind; Ferner gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\overline{X}-\mu)^2\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_1. }

Um die unbekannte Varianz der Grundgesamtheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2} zu schätzen, wird ein häufig verwendeter Schätzer benutzt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\sigma}^2= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( X_i-\overline{X}\right)^2. }

Der Satz von Cochran zeigt, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\sigma}^2\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_{n-1}, }

was zeigt, dass der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\sigma}^2} gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2\frac{n-1}{n}} ist.

Beide Verteilungen sind proportional zur wahren aber unbekannten Varianz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2} Daher ist ihr Verhältnis unabhängig von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2} , und weil sie unabhängig sind, erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\left(\overline{X}-\mu\right)^2} {\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-\overline{X}\right)^2}\sim F_{1,n} } ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_{1,n}} die F-Verteilung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Freiheitsgraden darstellt (siehe auch Studentsche t-Verteilung).

Literatur

• Cochran, W. G.: The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178–191, 1934.
• Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models. Zweite Auflage (1990). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9