Satz von Darmois-Skitowitsch

Der Satz von Darmois-Skitovich ist ein Satz aus der Stochastik, der die Normalverteilung über unabhängige Linearformen von Zufallsvariablen charakterisiert. Der Satz ist in der mathematischen Statistik von Bedeutung, da dort in der Regel die Verteilung nicht bekannt ist.

Er ist benannt nach dem französischen Mathematikern Georges Darmois und dem russischen Mathematiker Viktor Pawlowitsch Skitowitsch.

Formulierung des Satzes

Seien $(X_{i})_{i=1}^{n}$ unabhängige Zufallsvariablen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_i,\beta_i\neq 0,\forall i=1,\dots,n} . Sind nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_1=\sum_{i=1}^n \alpha_iX_i} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_2=\sum_{i=1}^n \beta_i X_i} unabhängig, dann sind alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_i)_{i=1}^n} normalverteilt.

Erläuterung des Satzes

Der Satz zeigt, dass die Unabhängigkeit der Linearformen der Zufallsvariablen zur Charakterisierung der Normalverteilung genügt und verzichtet auf die Bedingung der identischen Verteilung.