Dolbeault-Kohomologie

Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Dolbeault-Komplex

Im Folgenden werde mit ${\mathcal {A}}^{p,q}$ die Menge der $(p,q)$-Differentialformen bezeichnet. Sei $M$ eine $n$-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, $U\subset M$ eine offene Teilmenge und

${\overline {\partial }}\colon {\mathcal {A}}^{p,q}(U)\to {\mathcal {A}}^{p,q+1}(U)$

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {A}}^{p,0}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{0}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,1}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,2}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{2}}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {{\overline {\partial }}_{n-1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,n}(U)\longrightarrow 0$

$p$-ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt ${\overline {\partial }}_{k+1}\circ {\overline {\partial }}_{k}=0.$ Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach $n$ Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von ${\overline {\partial }}$ ist exakt.

Dolbeault-Kohomologie

Aus diesem $p$-ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt $p$-te Dolbeault-Kohomologie und wird durch $H_{\overline {\partial }}^{p}(U)$ notiert. Die $q$-te Kohomologiegruppe der $p$-ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die $(q,p)$-te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als

$H_{\overline {\partial }}^{p,q}(U)=\mathrm {Kern} \left({\overline {\partial }}_{q}\right)/\mathrm {Bild} \left({\overline {\partial }}_{q-1}\right).$

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Satz von Dolbeault

Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit $\Omega ^{p}(M)$ wird die Garbe der holomorphen $p$-Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit $M$ bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die $q$-te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen $p$-Formen $H_{G}^{q}(M,\Omega ^{p}(M))$ isomorph zur $q$-ten Kohomologiegruppe der $p$-ten Dolbeault-Kohomologie $H_{\overline {\partial }}^{p,q}(M)$ ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

$H_{\overline {\partial }}^{p,q}(M)\cong H_{G}^{q}(M,\Omega ^{p}(M)).$

Literatur

• P. Dolbeault: Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 236, 1953, ISSN 0001-4036, S. 175–277.
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).