Satz von Donsker

Der Satz von Donsker ist ein fundamentaler Satz aus der Stochastik, genauer aus der Theorie der stochastischen Prozesse. Der Satz begründet die Existenz des Wiener-Maßes bzw. der Brownschen Bewegung und bietet zugleich eine Konstruktionsmöglichkeit.

Das Theorem ist die funktionale Variante des zentralen Grenzwertsatzes und ist deshalb auch unter dem Namen Funktionaler Grenzwertsatz und Donskersches Invarianzprinzip bekannt.

Er wurde 1952 vom amerikanischen Mathematiker Monroe D. Donsker bewiesen.

Aussage

Sei $\mathbf {M}$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf $C[0,1]$, weiter sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ i.i.d. reelle Zufallsvariablen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[X_n]=0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}[X_n^2]=\sigma^2} . Sei $S_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}X_{k}$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_0 = 0} , konstruiere

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t^{(n)}(\omega)=(\sqrt{n}\sigma)^{-1}S_{[nt]}(\omega)+(nt-[nt])(\sqrt{n}\sigma)^{-1}X_{[nt] + 1}(\omega),\quad t\in [0,1].}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^{(n)}:\Omega \to C[0,1]} ist die stückweise lineare Interpolation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_{i/n}^{(n)}=(\sigma\sqrt{n})^{-1}S_i(\omega)} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=0,\dots,n} . Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n\in\mathbf{M}} das Bildmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n=P\circ (X^{(n)})^{-1}} , dann konvergiert $\mu _{n}$ schwach gegen das Wiener-Maß.

Erläuterungen

• Da der Satz keine zugrundeliegende Verteilung an die $X_{n}$ voraussetzt (nur dass diese iid sind), spricht man vom Donskerschen Invarianzprinzip.