Satz von Girsanow

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Satz von Girsanow benutzt, um stochastische Prozesse zu verändern. Dies geschieht mithilfe eines Maßwechsels von dem kanonischen Maß P zum äquivalenten Martingalmaß Q. Dieser Satz hat eine besondere Bedeutung in der Finanzmathematik, da unter dem äquivalenten Martingalmaß die diskontierten Preise eines Underlying, wie einer Aktie, Martingale sind. Im Bereich stochastischer Prozesse ist der Maßwechsel wichtig, da dann folgende Aussage getroffen werden kann: Wenn Q ein bezüglich P absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist, dann ist jedes P-Semimartingal ein Q-Semimartingal.

Geschichte

Der Satz wurde 1945 zuerst von Cameron und Martin und danach 1960 von Igor Wladimirowitsch Girsanow bewiesen. Der Satz wurde durch Lenglart 1977 verallgemeinert.

Satz

Sei $\{\Omega ,{\mathcal {F}},P,\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{0\leq t\leq T}\}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, versehen mit der natürlichen Filtrierung des standardisierten Wiener-Prozesses $({B}_{t})_{0\leq t\leq T}$. Sei $(\theta _{t})_{0\leq t\leq T}$ ein adaptierter Prozess, so dass gilt $\int _{0}^{T}\theta _{s}^{2}\,\mathrm {d} s<\infty$ P-fast-sicher und der Prozess $(L_{t})_{0\leq t\leq T}$ definiert durch

$L_{t}=\exp \left(\int _{0}^{t}\theta _{s}\,\mathrm {d} B_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\theta _{s}^{2}\,\mathrm {d} s\right)$

sei ein Martingal.

Dann gilt unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P^{(L)}$ mit der Dichte $L_{T}$ bezüglich $P$, dass der Prozess $(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ definiert durch $W_{t}=B_{t}-\int _{0}^{t}\theta _{s}\,\mathrm {d} s$ ein standardisierter Wiener-Prozess ist.

Bemerkungen

Der Prozess $L_{t}$ ist das stochastische Exponential des Prozesses $(X_{t})$ mit $\mathrm {d} X_{t}=\theta _{t}\,\mathrm {d} B_{t}$, das heißt, er löst die stochastische Differentialgleichung $\mathrm {d} L_{t}=\theta _{t}L_{t}\,\mathrm {d} B_{t}$, $L_{0}=1$. Er ist stets ein nichtnegatives lokales Martingal, also auch ein Supermartingal. Der im Allgemeinen schwierigste Teil in der Anwendung des obigen Satzes ist die Voraussetzung, dass $L_{t}$ tatsächlich ein Martingal ist. Eine hinreichende Bedingung, so dass $(L_{t})_{0\leq t\leq T}$ ein Martingal ist, lautet:

$\operatorname {E} \left(\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\theta _{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right)\right)<\infty \,.$

Diese Bedingung nennt man auch die Novikov-Bedingung.

Quellen

• C. Dellacherie, P.-A. Meyer: Probabilités et potentiel – Théorie des Martingales. Kapitel VII, Hermann, 1980.
• Damien Lamberton, Bernard Lapeyre: Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Kapitel IV, S. 66, Chapman & Hall, 2000, ISBN 0-412-71800-6.

Weblinks

• Notes on Stochastic Calculus mit einem verkürzten Beweis. (PDF-Datei; 488 kB)