Satz von Hurwitz (Funktionentheorie)

Der Satz von Hurwitz (nach Adolf Hurwitz (1859–1919) benannt) ist ein Satz aus der Funktionentheorie.

Der Satz von Hurwitz

Sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Funktionen die auf einem Gebiet $G$ holomorph sind und die Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiere kompakt gegen $f$. Ist außerdem die Anzahl der Nullstellen der Funktionen $f_{n}$ (ab einem Index) durch $M$ beschränkt, dann gilt:

Die Grenzfunktion $f$ hat maximal $M$ Nullstellen auf $G$ oder $f\equiv 0$ auf $G$ ($f$ ist die Nullfunktion).

Folgerung

Sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Funktionen, die auf einem Gebiet $G$ holomorph und injektiv sind, und die Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiere kompakt gegen $f$.

Dann ist $f$ injektiv auf $G$ oder konstant auf $G$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hurwitz's theorem. In: MathWorld (englisch).
• Jiri Lebl: Hurwitz's theorem. In: PlanetMath. (englisch)