Satz von Jegorow

Der Satz von Jegorow ist ein Satz aus der Maßtheorie, der den Zusammenhang zwischen punktweiser Konvergenz μ-fast überall und fast gleichmäßiger Konvergenz zeigt. Teils finden sich auch die Schreibweisen Satz von Egorow, Satz von Egorov oder Satz von Egoroff, die auf eine Übertragung des Namens ins Englische oder Französische zurückzuführen sind. Der Satz ist nach Dmitri Fjodorowitsch Jegorow benannt, der ihn 1911 bewies. Die Aussage wurde bereits 1910 von Carlo Severini gezeigt, weshalb sich auch die Benennung als Satz von Egorov-Severini (oder verwandte Schreibweisen) findet.

Satz

Gegeben sei ein endlicher Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ sowie messbare Funktionen

$f,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\colon X\to \mathbb {K}$.

Konvergiert die Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise μ-fast überall gegen $f$, so konvergiert sie auch fast gleichmäßig gegen $f$.

Bemerkung

Da aus der fast gleichmäßigen Konvergenz immer die Konvergenz fast überall folgt, liefert der Satz von Jegorow im Fall eines endlichen Maßraumes die Äquivalenz der beiden Konvergenzarten.

Beispiel

Das folgende Beispiel zeigt, dass die Aussage bei nicht endlichen Maßräumen im Allgemeinen falsch ist. Betrachtet man die Funktionenfolge

$f_{n}(x)=\chi _{[n,n+1]}(x)$

auf dem Maßraum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\lambda )$, so konvergiert diese Funktionenfolge punktweise (fast überall) gegen 0, denn für beliebiges $x$ ist für $n\geq \lceil x\rceil +1$ immer

$f_{n}(x)-0=\chi _{[n,n+1]}(x)-0=0$.

Aber die Folge konvergiert nicht fast gleichmäßig gegen 0, denn ist $0<\varepsilon <1$, so gilt für jede messbare Menge $A\subset \mathbb {R}$ mit Maß kleiner $\varepsilon$ und jedes $n\in \mathbb {N}$, dass $[n,n+1]\setminus A\not =\emptyset$, denn $[n,n+1]$ hat Maß 1, kann also nicht in $A$ enthalten sein, und daher

$\sup _{x\in \mathbb {R} \setminus A}|f_{n}(x)-0|=1$

für alle $n\in \mathbb {N}$, das heißt auf keinem Komplement einer Menge des Maßes kleiner $\varepsilon$ kann gleichmäßige Konvergenz vorliegen.

Ursprüngliche Formulierung

In der Originalarbeit von Jegorow wurde der Satz nur für Funktionen auf einem Intervall formuliert:

Théorème – Si l'on a une suite de fonctions mesurables convergente pour tous les point d'un intervalle AB sauf, peut-être, les points d'un ensemble de mesure nulle, on pourra tourjours enlever de l'intervalle AB un ensemble de mesure $\eta$ aussi petite qu'on voudra e tel que pour l'ensemble complémentaire [ de mesure = $m(AB)-\eta$ ] la suite est uniformément convergente.

Übersetzung: Wenn man eine Folge messbarer Funktionen hat, die für alle Punkte eines Intervalls AB konvergiert, bis auf möglicherweise die Punkte einer Menge des Maßes null, so kann man stets aus dem Intervall AB eine Menge des Maßes $\eta$, das so klein ist wie man auch will, entfernen, so dass die Folge auf der Komplementmenge [ mit Maß $m(AB)-\eta$ ] gleichmäßig konvergent ist.

Der heutige Begriff der fast gleichmäßigen Konvergenz war noch nicht in Verwendung. Jegorow schlug in derselben Arbeit vor, diese Konvergenz nach Hermann Weyl wesentlich gleichmäßig zu nennen.

Verallgemeinerungen

Der Satz von Jegorow gilt auch für messbare Funktionen, die Werte in einem separablen metrischen Raum annehmen.

Siehe auch

• Vektorielles Maß: für eine Verallgemeinerung des Satzes für Maße mit Werten in einem Banachraum

Literatur

• Isidor P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Zürich u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk), Kapitel IV., § 3.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.