Satz von Kronecker-Capelli

Der Satz von Kronecker-Capelli ist ein Lösbarkeitskriterium für lineare Gleichungssysteme. Er ist nach den Mathematikern Leopold Kronecker (1823–1891) und Alfredo Capelli (1855–1910) benannt., wurde aber zuvor in verschiedenen Formulierungen bereits von anderen Mathematikern verwendet, darunter Fontené, Rouché und Frobenius. Dementsprechend trägt der Satz in der (internationalen) Literatur oft unterschiedliche Namen, wird einfach als Lösbarkeitskriterium bezeichnet oder namenlos verwendet.

Aussage

Zu einem linearen Gleichungssystem

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}$

bezeichne $A$ die Koeffizientenmatrix

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

und $(A|b)$ die erweiterte Koeffizientenmatrix

$\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)$

Der Satz von Kronecker-Capelli besagt nun, dass dieses Gleichungssystem genau dann (mindestens) eine Lösung besitzt, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix $A$ dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A|b)$ entspricht, also

${\text{rang}}(A)={\text{rang}}(A|b)$

gilt.

Literatur

• Kronecker-Capelli theorem in der Encyclopaedia of Mathematics
• Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra: Linearisieren und Koordinatisieren. Springer, 2011, ISBN 9783827424136, S. 34-40
• Georgi E. Shilov, Richard A. Silverman: An Introduction to the Theory of Linear Spaces. Courier (Dover), 2012, ISBN 9780486139432, S. 54-55

Weblinks

• Kronecker-Capelli Theorem auf Wikibooks
• Michael Drmota: Lineare Algebra I. Skriptum, TU Wien, 2005, S. 70, Satz 4.69