Satz von Milnor-Moore

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Der Satz von Milnor-Moore, benannt nach John Milnor und John Moore, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Theorie der Hopf-Algebren. Er stellt unter gewissen Voraussetzungen einen Zusammenhang zwischen einer solchen Hopf-Algebra und der in ihr enthaltenen Lie-Algebra der primitiven Elemente her.

Formulierung

Es sei eine graduierte ko-kommutative Hopf-Algebra über einem Körper der Charakteristik und es gelte und für alle .

Es sei die graduierte Lie-Algebra der primitiven Elemente in und die universelle einhüllende Algebra von .

Dann ist der natürliche Hopf-Algebren-Homomorphismus

ein Isomorphismus.[1]

H-Räume

Häufig wird auch die folgende Anwendung als Satz von Milnor-Moore bezeichnet.[2]

Es sei ein wegzusammenhängender homotopie-assoziativer H-Raum. Dann ist der Hurewicz-Homomorphismus

injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in erzeugt.

K-Theorie

Ein Spezialfall ergibt sich durch Anwendung auf die algebraische K-Theorie eines Ringes : der Hurewicz-Homomorphismus

in die Gruppenhomologie der allgemeinen linearen Gruppe ist injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in erzeugt.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Milnor-Moore, Theorem 5.18
  2. Milnor-Moore, Appendix