Satz von Nordhaus-Gaddum
Der Satz von Nordhaus-Gaddum ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Graphentheorie, welcher auf eine Arbeit der beiden Mathematiker Edward Alfred Nordhaus und Jerry W. Gaddum aus dem Jahre 1956 zurückgeht. Der Satz formuliert vier grundlegende Ungleichungen über den Zusammenhang zwischen der chromatischen Zahl eines Graphen, der chromatischen Zahl des zugehörigen Komplementärgraphen und der Knotenzahl. Er war Anstoß für eine Anzahl von Folgearbeiten.[1]
Formulierung des Satzes
Der Satz lautet wie folgt:[2][3][4][5]
- Für einen endlichen schlichten Graphen mit Knoten und seinen Komplementärgraphen gelten stets folgende Ungleichungen:
- (1)
- (2)
Grenzfälle
In einer Arbeit von 1966 hat sich der Mathematiker Hans-Joachim Finck die Frage aufgegriffen, für welche Graphen in den obigen Ungleichungen die unteren bzw. oberen Schranken angenommen werden, also die Gleichheit gilt. Es ergibt sich zusammengefasst Folgendes:[2][4]
- Zu (1)
- Die untere Schranke nehmen (etwa) der vollständige Graph oder auch der Kreisgraph an.
- Die obere Schranke nehmen lediglich die vollständigen Graphen und deren Komplementärgraphen sowie die Kreisgraphen an.
- Zu (2)
- Die untere Schranke nehmen (etwa) alle an.
- Die obere Schranke nehmen lediglich , , sowie an.
Literatur
Originalarbeiten
- E. A. Nordhaus, J. W. Gaddum: On complementary graphs. In: Amer. Math. Monthly. Band 63, 1956, S. 175–177, doi:10.2307/2306658. MR0078685
- H.-J. Finck: Über die chromatischen Zahlen eines Graphen und seines Komplements. I, II. In: Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Hochschule Ilmenau. Band 12, 1966, S. 243–246. MR0214508
Übersichtsarbeiten
- M. Aouchiche, P. Hansen: A survey of Nordhaus–Gaddum type relations. In: Discrete Applied Mathematics. Band 161, 2013, S. 466–546, doi:10.1016/j.dam.2011.12.018.
Monographien
- Michael Capobianco, John C. Molluzzo: Examples and Counterexamples in Graph Theory. North-Holland, New York, Amsterdam, Oxford 1978, ISBN 0-444-00255-3. MR0491272
- Frank Harary: Graphentheorie. R. Oldenbourg Verlag, München, Wien 1974, ISBN 3-486-34191-X.
- Rudolf Halin: Graphentheorie I (= Erträge der Forschung. Band 138). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1980, ISBN 3-534-06767-3. MR0586234
- Klaus Wagner: Graphentheorie (= BI-Hochschultaschenbücher. 248/248a). Bibliographisches Institut, Mannheim (u. a.) 1970, ISBN 3-411-00248-4. MR0282850
Einzelnachweise und Fußnoten
- ↑ Siehe etwa M. Aouchiche, P. Hansen: A survey of Nordhaus–Gaddum type relations. In: Discrete Appl. Math. 161 (2013), 466–546.
- ↑ a b Michael Capobianco, John C. Molluzzo: Examples and Counterexamples in Graph Theory. 1978, S. 5
- ↑ Frank Harary: Grapentheorie. 1974, S. 137–138
- ↑ a b Rudolf Halin: Graphentheorie I. 1980, S. 250 ff., 253–254
- ↑ Klaus Wagner: Graphentheorie. 1970, S. 129 ff., 137